电磁场理论典型习题.doc

电磁场理论习题课 第一章、矢量分析与场论 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量 积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为已知矢量， v v v v v v p = ， p 和P 已知，试求未知矢量X = ? ，P A X A X × 。 v v 解：因为 P = A × X ,有 v v v v v v A P A A X ) ( A X ) A ( A A) X pA ( A × = × ( × = ? ? ? = ? ? v v v v ? × pA A P X v v = 所以 A A ? A) v X v 25 v E e = 。 1.9 用球坐标表示的矢量场 2 r r v (1) 求在直角坐标系中点(-3, 4, -5)处的| E |和Ez 。 v (2) 求在直角坐标系中点(-3, 4, -5) 处 E 与矢量 v v v v B ex e e = 2 2 构成的夹角。 ? + y z v 25 25 | E | = = 解：(1) 2 2 2 2 + + r x y z ，将 x=-3, y=4, z=-5 代入得 v 25 25 1 | E | = 2 = = 在点(-3, 4, -5)处的 2 2 ( 3) 4 ( 5) 50 v v v v + + e x e y r e = x = y r r r v e z z = v v v v ? = ? = = 25 25z 25z E E e e e z + + z r z 2 3 ( 2 2 2 )3 r r x y z 2 25( 5) 1 ? E = 3 = ? 将坐标代入得 2 2 z 2 50 v v v v v v v v e x e z e 2 2 ? + + + ? + y e e e E B x y z x y z 2x 2y z (2) cosα ? = ? = = v v | E | | B | r 9 9r cosα = ? ? ? ? = ? 2( 3) 2 4 5 19 将坐标代入得 45 2 9 50 19 α = cos?1 ? ( 所以 ) 45 2 = 在点(2,3,1)处沿矢量 2 1.11 求标量函数u x yz 3 4 v = + + v v v el e e e x y z 50 50 v 解 1： | |=1 ，所以 e l 5 50 的方向导数。 3 cosα = ， 50 4 cosβ = ， 50 cosγ = 5 50 ? u ? l ? ? ? u u u = α + cos β + cos cos ? ? ? x y ( z 2,3,1) (2,3,1) (2,3,1) (2,3,1) γ = 2 ( cos x z x y xyz α + 2 cos β + 2 cos 2,3,1) (2,3,1) (2,3,1) γ = 3 4 5 12 + + = 4 12 50 50 50 112 50 ? ? ? u u u v v = + + v v v v ? = + + u e e e 2 2 2 解2： z e xyz e x z e x y x ? ? y ? z x y z x y ? u v + + v v = ( ex12 ey 4 ez12 2,3,1) ? ? u v = ? ? u e l l = 3 4 5 12 + + = 4 12 50 50 50 112 50 v v v v = 2 + 的散度； 2 + e x y e 24x y z 2 2 2 3 A e x 1.18 (1) 求矢量场 x y z v v ?? 对中心在原点的单位立方体的积分；(3) 求A (2) A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解：(1) ?? ? v ? A ? A A A z 2x 2x2 y 72x y z ? ? ? = x + + = + + y 2 2 2 x y z (2) v 0.5 0.5 0.5 ∫V ∫ ∫ ∫ ?? = AdV ?0.5 ?0.5 ?0.5 (2x + 2 2 2 2x y x y z dxdydz 2 + 72 ) = 0.5 0.5 ∫ ∫ ?0.5 ?0.5 2 ( x y x y z x2 + + 24 3 2 )x x2 + + 24 3 2 )x 3 2 =0.5 x=?0.5 3 dydz = 0.5 0.5 ∫ ∫ ?0.5 ?0.5 ( 0.5 3 y + 6 2 2 ) y z dydz = 0.5 ∫ ?0.5 0.5 6 ( 0.5 y ∫ ?0.5 ?0.5 y2 + 2 )y=0. 0.5 y z dz z 3 2 5 2 dz = 0.5 0.5 z= 3 = z 3 z=?0.5 0.125 3