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电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符? 的微分性与矢量性 推导下列公式
r r r r r r r r r r
? B ( A) (B )A A ( B) (
(A? B) = × ?× + ?? + × ?× + A??)B
r r r r r
1
A× A (A )A
(?× = ? 2 ? ??
A)
2
v v v v v v v v v v
解 1 (A? B = B × ?× A + B ?? A + A× ?× B + A?? B
? ) ( ) ( ) ( ) ( )
首先 算符? 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
v v
? 将作用于 A和B
又? 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质
v v v
v × (v × ) = v ?(v ? ) ? (v ? v) 可得上式 其中右边前两项是 ? 作用于
因此 利用公式 c a b a c b c a b
v
A
v
后两项是? 作用于 B
v
2 根据第一个公式 令 A
v
B
可得证
2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明
df
(u =
du
? u
f
) ?
r
r
dA
? = u ?
?
A( ) ?
u
du
课后答案网
r
r
dA
? = u ×
×
A u) ?
( .
du
证明
1
? (u) f f u df df u u df
f
r ? ( ) ( )
u ?
r df ?
r ? r ? r r
u
?f x x y z
(u) x e e e e e = ?u
= e + + = ? + ? + ?
y z
?x z du
? ?
y du ?
?z du
y du ?
2
r r
r r r r r
? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
? u u
A x y z x y z
r A u dA u
= + + = ? + ? + ? = ? ?
? u dA
A u
? d u dA
?
A u
z u ? ?
u A u ?
?x y z du du y dz z du
? ? ? ?
? x
3
r r r
e e e
r r r r r r
x y z
r A
A ?
? A A A A ? ? ? r ? r ?
? ?
y y
?× (u) = ( )e ( )e ( )e
A r
= ? + ? + ? =
z x z x
x y z
?x y z y z z x x y
r r r
? ? ? ? ? ? ? ?
A A (u) A (u)
x(u) y z
- 1 -
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
r r r r r r
dA u u u
? r r
dA dA dA dA
? u
u ? ?
? r
dA u ?
y y
e x e
z x
= ( ) ( ) ( )
z e
? + ? + ?
x y z
du y du z x x
? z
?
du du ?
? du ?y
du ?
=
?u
×
r
dA
du
3. 设r = (x ? x )2 + (y ? y )2 + (z ? z )2 为源点x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从
源点指向场点
1 证明下列结果 并体会对源变数求微商( e )
? r ? r ? r ? 与对场变数求
=
ex + ey + z
? z ?
x y ?
微商( )
? r r r 的关系
= ex ey z
? ? ?
+ e
+
?
x ?
y ?z
r r r r r
r 1 1 r r r r
?r r r
= ??
= ,? = ?? = ? ,?× = 0,? ? = ?? = 0.( ≠
r r r r r r r
3 3 3 3
(最后一式在人r 0 点不成立 见第二章第五节)
0)
2 求
?
r r r r r r
r ?× ?? ? ? ? ? ? ?× ?
r r r r r r r r
? r, r,(a )r, (a r), [E0 sin(k r)] [E sin(k r)], a,k E
及 其中 及 均为常矢量
0 0
证明 rr ( ) ( ) ( ) 3
? ? = + + =
?
? x
x ?
? ? z ? z
y ?
y ? y
x ? z
课后答案网 r r r
e e e
x y z
r ?
? ?
?× r 0
= =
?x z
?y
?
x ? x y ? z z
y
?
? ? ?
( x x y y z z x y ez x x ex y y ey z z ez
av r v v v v v v ? v + ? r + ? v
? r
?) [(a e a e
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