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华中师大 陈义成
第一章 习题解答
1.1 根据算符?的微分性质与矢量性质,推导下列公式:
(1) ( i ) ( ) ( i ) ( ) ( i )
? = × ?× + ? + × ?× + ?
A B B A B A A B A B
i
(2) ( ) 1 2 ( )
A× ?×A = ?A ? A ? A
2
解:以 A
? 表示仅对矢量 ? 表示仅对矢量
A 微分,
B 微分。由?的微分性质:
( i ) ( i ) ( i )
A B A B A B
B
? = ? +?
A B
由附录(I.28),根据?的矢量性质,有
i i ? = × ? × + ? ×
B (A B) A ( B B) (A B ) B
i i i A (A B) A (B A) B ( A A) (B A )A
略去微分算子?的下标,得
? = × ?× + ? + × ?× + ?
( i ) ( ) ( i ) ( ) ( i )
A B B A B A A B A B
令上式中A = B
,得
i
? = ?? × ?× + ? ??
A ?A A A A?
2 2 ( ) ( )
即
i
1
A× ?×A = ?A ? A ? A
( ) ( )
2
2
或用矢量性质,并注意?只对括号内的一个
A 求微分,则有
i i i
1 1
A× ?×A = ? A A ? A ? A = ?A ? A ? A
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1.2 设u 是空间坐标x 、y 、z 的函数,证明
A d f d A d
? = ? ,?i u = ?ui ?× u = ?u×
f (u) u A( ) A( )
du du du
,
? ? ?
证: f (u) f (u) f (u) f (u)
? = ? i + ? j + ? k
x y z
d f (u) du d f (u) du d f (u) du
= i + j + k
du d x du d y du d z
式中i 、j 、k
分别是沿x 、y 、z 方向的单位矢量。此即
d
? = ?
f (u) f (u) u
du
另外
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华中师大 陈义成
所以
而
? A = ? + ? + ?
i ? ? ?
(u) A (u) A (u) A (u)
x y z
x y z
? ? ?
x A u z
d ( )d A (u) u u d A (u) u
= ? + ? + ?
y
du x du y du z
d A
?i u = ?ui
du
A( )
d A
= i?u
du
??? ? ??? ??? ? ?? ??? ? ???
z A A z A A
A A
?× =?? ? ? ? ?? +?? ? ? ? ?? +?? ? ? ? ??
A(u) i j k
y x y x
y z z x x y
?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???
z A A z A A
d d d d
d A u u u d A u u u
=?? ? ? ? ?? + ?? ? ? ? ?? +?? ? ? ? ??
i j k
y x y x
du y du z du z du x du x du y
= ? × A
u
d
du
1.3 设r = (x ? x′)2 + (y ? y′)2 + (z ? z′)2 为源点x′ 到场点x 的距离,r
的方向
规定为从源点指向场点.
? ? ?
(1)证明下列结果,井体会对源变数求微商(?′ = ex + ey + ez
? ′ ? ′ ? ′
x y z? ′ ? ′ ? ′
) 与对场变
? ? ?
数求微商(? = ex + ey + ez )
的关系.
?x ?y ?z
r r r r
?r = ??′r = ?× = ?? = ??′ ? = ≠
, ,
3 0 r
3 3 0 ( 0)
r r r r
(2)求??r ,?×r ,其中r
为位置矢量.
解:
? ? ?
r r r x x y y z z = r
? ′ ? ′ ? ′
? = ? e + ? e + ? e
r
= e + e + e
x y z x y z
x y z r r r r
? ? ? ? ? ?
r r r x x y y z z
′ ′ ′
? = ? ′ e + ? ′ e + ? ′ e
′ =? e ? e ? e
r
x y z x y z
x y z r r r
所以 r r
? =?? =
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