常见基本初等函数极限.doc

常见函数极限 一、常见数列极限的存在情况： (1)1,1, 1, 1,L1,L。通项 1 y = ，极限y =1?1(n ? ￥) （收敛） n n 即lim1=1 n?￥ 1 1 1 1 2 3 4 L n L (2)1, , , , , , 。通项 y n = 1 ，极限 1 0 ( ) y = ? n ? ￥ （收敛） n n n 1 即lim = 0 (如图2) n ￥ ? n y n 1 × = y × × ×n × n × 1 2 3 4 5 6 O × × × × × × n ? ￥ × × n 图2 (3) 1 2 3 n , , , , , L L 。通项 2 3 4 n +1 y n = n n +1 n ，极限y = ? 0 (n ? ￥) n + n 1 n （收敛）即lim = 0 n +1 n?￥ 1 4 3 n + (-1) n-1 (4) 2 , , , , , , L L 。通项 2 3 4 n y n n + (-1)n -1 = ，极限 n y n n ( 1) + - n-1 + - n-1 = ?1 (n ? ￥) （收 n n + (-1) = n-1 敛）即 lim 1 n?￥ n y n (如图4) 2 × 1 O n +(-1)n-1 y = n × n × × × × × × × × × × × n ? ￥ 1 2 3 4 5 6 n 图4 (5) 2, 4,8,L, 2n ,L。通项 2 y = n ，极限: y = 2n ? ￥ (n ? ￥)（发散） n n (6)1,-1, 1,L,(-1)n+1,L。通项： (如图6) y n y = (-1)n+1 ;极限：y = (-1)n+1 (n ? ￥) 趋势不定（发散） n n y = ( - 1) n + 1 × 1 × × n × × × × × × n ? ￥ O g1 2 3g 4 5 g 6 -1 n 图6 66 常见函数极限 (7) 1, 2, 3,L,n,L。通项 y = n，极限y = n ? ￥ (n ? ￥)（发散）(如图7) n n y n 。 O 3 × y = n n 2 × × n ? ￥ 1 × 1 2 4 6 3 5 n 图7 (8) L ì-2,-6,-10, （, n为奇数） y = - n = í ( 1) 2 n 。通项： y = (-1)n 2n n L n 4, 8, 12， , （n为偶数） ? 极限 ì -￥(n ? ￥) （n为奇数） y = - n = í ( 1) 2 n n +￥ ? ￥ (n ) （n为偶数） ? y = (-1)n 2n (n ? ￥) 趋势不定（发散） n (如图8) y n - 6- 5 -4 - 3 -2 -1 - 2 - 4 -6 - 8 -10 -12 12 10 8 6 4 2 1 o g × g g y =(-1)n2n n n ? ￥ n 2 3 4 5 6 g g 图8 二、常见基本初等函数极限存在情况 （一）当x ? ￥, x ? -￥, x ? +￥ 时的极限（为直观起见在图中将x ? -￥ 记为-￥ ? x 以下均同） (1) 函数y = C ，极限 lim C = C (C 为常数)；（2）函数y = x ，极限 lim x?±￥ x?±￥ x = ±￥ （极限不存在） y y y = x y = C C -￥ ? x x ? +￥ O x x o -￥ ? x x ? +￥ 图1 图2 67 常见函数极限 (3)函数y = -x ，极限 lim x （ ） ； (4)函数 - = m￥ x?±￥ y = 1 ，极限 lim 1 0 = x x?±￥ x y y y=-x 1 1 y x = - = x -￥ ? x x x o x ? +￥ -￥ ? x x ? +￥ O 图3 图4 (5)函数y = x2 ，极限 lim x2 x?±￥ = +￥ （ 极限不存在）；(6)函数 1 y = x ，极限 lim 2 x?+￥ x = +￥ （极限不存在） y y y=x2 y = x -￥ ? x o x ? +￥ x o x ? +￥ x 图5 （7)函数 y = x3 ，极限 lim x3 x?±￥ 图6 = ±￥ （极 限不存 在）；（8）函数 1 y = x ，极限 lim 3 x?±￥ 1 3 x = ±￥ ，（极限不存在） y y f (x) = x 3 f (x) = x 3 x x -￥ ? x O x ? +￥ -￥ ? x x ? +￥ O 图8 图7 68 常见函数极限 2、指数函数部分 (9)函数y = ax (a 1），极限 lim ax = +￥ (a 1) （极限不存在）（注意