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第三章 协方差传播率及权 第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播 第三章 协方差传播律及权 §3-1 数学期望的传播 误差理论与测量平差基础 §3-1 数学期望的传播 1.数学期望的定义 离散型： E(X ) = ∞ ∑ i 1 = x i p i 连续型： +∞ ∫ E(X ) ( ) = xf x dx ?∞ 误差理论与测量平差基础 §3-1 数学期望的传播 2.数学期望的传播规律 1 设C为一常数，则 E( ) = C C 2 设C为一常数，X为一随机变量，则 E = (CX ) CE(X ) 3 设有随机变量X和Y，则 E + = + (X Y) E(X ) E(Y ) 4 若随机变量X和Y互相独立，则 E = (XY) E(X )E(Y) 误差理论与测量平差基础 第三章 协方差传播律及权 §3-2 协方差传播律 误差理论与测量平差基础 §3-2 协方差传播律 1.观测值线性函数的方差 设观测值向量 X ，其数学期望 ，协方差阵 μ X D XX 又设 Z = k1X k X k X k + + + n + 1 2 2 n 0 K= [ ... k1 k k] 2 Z 1,1 = K 1,n X n ,1 + k 0 1,1 则 T D = σ 2 = ZZ KD K Z XX = σ = σ + σ + + σ 2 2 2 2 2 2 D k k k ZZ Z 1 1 2 2 n + σ + + σ + + 2k k 2k k 1 3 13 1 n 1n 2 n + 2k k σ ? n 1 n 误差理论与测量平差基础 课堂练习 ?3 1? Y = ? =? + D 2x1 x Z x 3x 设 ， , , XX = 2 1 2 ? ? 1 4 ? ? σ 2 2 σ 求: 、 。 Y Z §3-2 协方差传播律 2.多个观测值线性函数的协方差阵 设2个观测值向量： 若： X n,1 μ X D XX Z = + K X K 0 t , t ,n n,1 t 1 ,1 Y μY r,1 D YY W = + F Y F 0 s 1 , ,1 , s r r s ,1 求： D ZZ D WW D ZW D WZ 误差理论与测量平差基础 §3-2 协方差传播律 2.多个观测值线性函数的协方差阵 Z = + K X K 0 t, t n n,1 t 1 , ,1 W = + F Y F 0 s 1 , ,1 , s r r s ,1 Z k X k X k X k = + + + + 1 11 1 12 2 1n n 10 Z k X k X k X k = + + + + 2 21 1 22 2 2n n 20 Z k X k X k X k = + + + + t t1 1 t2 2 tn n t0 W f Y f Y f Y f = + + + + 1 11 1 12 2 1r r 10 W f Y f Y f Y f = + + + + 2 21 1 22 2 2r r 20 W f Y f Y f Y f = + + + + s s1 1 s2 2 sr r s0 T D ZZ K D K = XX t,n n,t t,t n,n D WW F D F = YY s , r r s , s r , r , T s 误差理论与测量平差基础 §3-2 协方差传播律 3.两个函数的互协协方差阵 Z = + K X K 0 t 1 , ,1 , t n n t ,1 W = + F Y F 0 s ,1 s ,r r ,1 s ,1 定义Z与W之间的互协方差: D = [( ? ? T ZW E Z E (Z ))(W E(W )) ] = K t.n D XY n,r T F r,s D = [( ? ? T WZ E W E(W ))(Z E(Z )) ] = F s.r D YX r,n T K n,t D = T ZW D WZ 误差理论与测量平差基础 课堂练习 ?3 1? 1，设 Y = ? ，=? + ， D , 2x x Z x x 1 3 XX = ? ? 2 1 2 1 4 ? ? F = + Y Z 已知 ，求 （1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。 （2）. F的方差 σ 2 F D = [( ? ? T ZW E Z E(Z ))(W E(W )) ] = E + ? μ ? + ? μ ? [(KX K K x K )(FY F F F 0 0 0 Y 0 T ) ] = KE[( ? μ )( ? μ ) ] X T x Y F Y