第一章函数、极限与连续内容小结.doc

第一章 函数、极限与连续 内容小结 数学与统计学院 常争鸣 一、 函数 1.函数的定义 2.函数的几种特性 单调性，周期性，奇偶性，有界性 3.复合函数与反函数的概念 4.初等函数的概念 二、 极限的概念 lim n ?? a A ? n ?? ? 0, ? ? 当 n ? N 时， N N + , a ? A ? ? n lim f ( x) A ? x ? ? ?? ? ?X ? 0, 当|x| ? X时， f ( x) ? A ? ? 0, lim f (x) A ? x x ? 0 ?? ? ?? ? 0,当 时， 0, 0 ? x ? x ? ? f (x)? A ? ? 0 三、极限的性质 lim f (x) A ? ?极限必唯一 1.唯一性 存在 x x ? 0 ? lim f (x) A ? 在某个 内，f (x) ? M. 2.有界性 存在 U(x ,? ) ? 0 x x 0 3.有理运算 设 lim f (x) A, ? x x ? 0 lim g(x) B, ? 则 x x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)lim f x g x A B; ? ? x x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)lim f x g x A B; ? ? x x ? 0 ? ? f x A ? ? (3)lim B 0 . ? ? ? ? g x B x x ? 0 4.夹逼原理 g x ? f x ? h x 且 ? ? ? ? ( ) ( ) ( ), lim g x lim h x A. ? ? U x ? 设在 ( , )内有 0 x x x x ? ? 0 0 lim f (x) A. ? 则 x x ? 0 5.保号、保序性 设 ? ? ? ? lim f x A, lim g x B. ? ? x x x x ? ? 0 0 (1) 若 A ? 0, o x ?U x ? f x ? 则 ?? 0，当 ( , ) 时， ( ) 0. 当 ( , ) 时， ( ) 0. 0 o (2) 若A ? B ，则 ?? 0， x ?U x ? f (x) ? g(x). ( , ) 当 时， 0 6.单调有界原理 单调、有界的数列必定收敛. 四、两个重要极限 sin x lim 1. ? x x 0 ? 1 lim(1? )x ? x x ?? e 五、无穷小与无穷大 1.定义 (1)若 ? ? lim f x 0, ? 则称 f (x) 为x ? x 时的无穷小量(或无穷小). 0 x x ? 0 0 ? x ? x ? ? f (x) ? M, (2)若 ?M ? 0, ?? ? 0,当 时， 0 则称 f (x) 为 时的 x ? x 无穷大量(或无穷大). 0 记作 lim f (x) x x ? 0 ? ? 2.性质 ? (1) lim f (x) 0 ? f (x) ? A??(x), ?(x)为无穷小; x x ? 0 (2)有限个无穷小的和、积仍是无穷小； (3)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小; (4)有限个无穷大的乘积仍是无穷大； (5)无穷大与有界函数的和仍是无穷大. 3.无穷小阶的比较 设?(x)与 ?(x) 是自变量 x在同一变化趋势下的两个无穷小，且 ? (x) lim , ? ? ? (x) 则： (1)若 ? ? 0, ?(x) ? o??(x)?; (2)若 ? ? 0, ?(x)与?(x) 为同阶无穷小; (3)若 ? ? 1, ?(x) 4.几个常用等价无穷小公式 当 x ? 0 时， x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x; ~ ln(1? x) ~ ex ?1; 1 1 cos x ~ x ; ? 2 2 (1? x)? ?1 ~ ? x . 六、连续函数 1.连续几种形式的定义 (1) lim f (x) f (x ) ? 0 x x ? 0 (2) lim y 0 ? ? ? ? x 0 (3) ? ? ?? ? 0, 当 x ? x0 ? ? 时， ? 0, f x ? f x ? ? ( ) ( ) . 0 (4) lim f (x) lim f (x) f (x ) ? ? 0 ? ? x x x x ? ? 0 0 2.间断点 （1）定义 但在 x0点不连续, 设 f (x) 在 x0的去心邻域 有定义， U(x ) 0 x0 f (x) 则称 为 的一个间断点. （2）间断点的分类 第一类间断点：左、右极限都存在的间断点. （可去、跳跃） 第二类间断点：其它间断点. （无穷、振荡型等） 3.连续函数的运算 （1）有理运算：两个连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍 为连续函数. （2）复合