matlablmi(线性矩阵不等式)工具箱中文版介绍及使用教程.doc

LMI 工具箱介绍 线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件 包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块 矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩 阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用 于： z 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； z 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； z 修改现有的线性矩阵不等式系统； z 求解三个一般的线性矩阵不等式问题； z 验证结果。 本附录将详细介绍LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。 A.1 线性矩阵不等式及相关术语 一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式： L (x) = L + x L + + x L 0 (1) 0 1 1 N N 0 1 1 N N 其中：L , L , , L 是给定的对称常数矩阵，x , , x 是未知变量，称为决策变量， x = [ 1 , , ]T R N 是由决策变量构成的向量，称为决策向量。 x x ∈ N 尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线 性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式： L (X ) ( , ) 1 , , X n R X , X n 1 其中的 和 是矩阵变量X , , X 的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写 L(?) R(?) 1 n 成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的 Lyapunov 矩阵不等式 AT X + XA 0 (2) 也是一个线性矩阵不等式，其中的 X 是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵 ?? ? 1 2 A = 为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不 ? ? 0 ? 2 ? ? ?x x ? 等式（2），对应的矩阵变量 是一个二阶的对称矩阵， X = ，不等式（2）中 X ? 1 2 ? x x ? ? 2 3 的决策变量是矩阵 X 中的独立元 x1、x 、x 。根据对策性，矩阵变量 X 可以写成 2 3 X = ?1 0? ?0 1? ?0 x1 x + x + ? ? ? ? ? 2 3 ? ? ? ? ? 0 0 1 0 0 0? ? 1 ? 将矩阵 A 和上式代入矩阵不等式（2），经整理，可得 ?? ? 2 2? ? 0 3? ?0 0 ? x1 x x (3) + + 0 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 0 3 4 0 4 这样就将矩阵不等式（2）写成了线性矩阵不等式的表示式（1）。显然，与 Lyapunov 矩 阵不等式（2）相比，表示式（3）缺少了许多控制中的直观意义。另外，（3）式涉及到 的矩阵也比（2）式中的多。如果矩阵 A 是 n 阶的，则（3）式中的系数矩阵一般有 n(n +1) 2 个。因此，这样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间。由于这样的一些 原因，LMI 工具箱中的函数采用线性矩阵不等式的结构表示。例如，Lyapunov 矩阵不等 式（2）就以矩阵变量 X 的不等式来表示，而不是用其一般形式（3）来表示。 一般的，一个线性矩阵不等式具有块矩阵的形式，其中每一个块都是矩阵变量的仿射 函数。以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语。 考虑 H∞ 控制中的一个线性矩阵不等式： N T ? + T A X ? ? CX ? ? B T XA XC T ?γI D T ? ? B D N ? ? ?γI ? 0 其中： A、B、C、D、N 是给定的矩阵， X = X T ∈ Rn×n 和γ ∈R 是问题的变量。 z N 称为外因子，块矩阵 L(X, γ ) = ? + A X T T A X ? ? CX ? ? B T XA XC T ? γI D T ? ? ? B D ? ? ? γI 称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。 z X 和γ 是问题的矩阵变量。注意标量也可以看成是一个1×1维的矩阵。 z 内因子 L(X, γ ) 是一个对称块矩阵。根据对称性， L(X, γ ) 可以由对角线及其上方 的块矩阵完全确定。 z L(X, γ ) 中的每一块都是矩阵变量 X 和γ 的仿射函数。这一函数由常数项和变量 项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表 达式，例如 L(X, γ ) 中的 B 和 D ；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如 XA, ? γI 等。 一个线性矩阵不等式不论多么复