概率论典型例题第2章.doc

第二章 随机变量及其分布 例 1．设随机变量X 的密度函数为?(x) ，且?(?x) = ?(x) 。 F(x)是X 的分 布函数，则对任意实数a ，有 。 （A ） a F ?a = ? ∫ ? x dx ( ) 1 ( ) 0 （B ） 1 a F ?a = ? ∫ ? x dx ( ) ( ) 2 0 （C ）F(?a) = F(a) （D ）F(?a) = 2F(a) ?1 分析：利用分布函数、密度函数的性质，以及分布函数与密度函数的关系 解决问题。 x=?t ?a a +∞ 令 解：F( a) ?(x)dx ?(t)dt ?(x)dx ? = ∫ = ? ∫ = ∫ ?∞ +∞ a ， +∞ ∫ ，所以 而 ?(x)dx =1 ?∞ ?a 0 a +∞ 1 ?(x)dx ?(x)dx ?(x)dx ?(x)dx = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ ?∞ ?a 0 a a = ? + ∫ dx， 2F( a) 2 ?(x) 0 从而得 1 a F ?a = ? ∫ ? x dx ，故应选B 。 ( ) ( ) 2 0 例 2．设 X 和 1 X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度 2 分别为 f x 和 1( ) f x ，分布函数分别为 和 ，则下列说法正确的是 2 ( ) F x 。 F1(x) 2 ( ) （A ） f1(x) + f2 (x)必为某一随机变量的概率密度。 （B ） f1(x) f2 (x)必为某一随机变量的概率密度。 （C ） 1( ) + 必为某一随机变量的分布函数。 F x F2 (x) （D ） 1( ) F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。 F x 分析：显然这是考察随机变量的概率密度以及分布函数的性质及其构成要 素。 解：首先可否定选项A 与C ，因 +∞ +∞ +∞ ∫ ∫ ∫ ≠ [ f (x) + f (x)]dx = f (x)dx + f (x)dx = 2 1 ， 1 2 1 2 ?∞ ?∞ ?∞ F +∞ + F +∞ = + = ≠1。 1( ) 2 ( ) 1 1 2 对于选项B ，若 f (x) 1 ?1, ? 2 x ?1, = ? ， ? 其他； 0 , f (x) 2 ?1, 0 x 1, = ? ，则对任何 ? 其他. 0 , 1 x∈ ?∞ + ∞) ， f x f x ≡ ， ( , 1( ) 2 ( ) 0 +∞ ∫ ，因此也应否定选项B 。 f x f x dx 1( ) 2 ( ) = 0 ≠1 ?∞ 综上分析，用排除法应选D 。 注：进一步分析可知，若令 X = max(X , X )，而X ~ f (x), i =1, 2 ，则X 的 1 2 i i 分布函数F(x)恰是 1( ) 。 F x F2 (x) F(x) = P{max(X , X ) ≤ x} = P{X ≤ x, X ≤ x} 1 2 1 2 = P{X ≤ x}P{X ≤ x} = F (x)F (x) 1 2 1 2 。 另外，关于分布函数的题目还常出现的有 设 与 2 ( ) 分 别 为 随 机 变 量 F x 1( ) F x X 和 1 X 的 分 布 函 数 ， 为 使 2 F(x) = aF (x) ?bF (x) 是某一随机变量的分布函数，则下列给定的各组数值中应 1 2 取 。 （A ） , a = b = ? （B ）a = 2 , b = 2 （C ）a = ? 1 , b = 3 （D ） 3 , 2 3 2 a = b = 5 5 3 3 2 2 5 5 此例显然要考察的是作为某个随机变量的分布函数F(x) 需要满足的性质， 即(1) F(x)是一个不减函数； (2) F(x)是左连续； (3) F(+∞) = lim F(x) =1， x→+∞ F(?∞) = lim F(x) = 0 x→?∞ 。 由(3)即知 ，这是因为 与 2 ( ) 分别 1= F(∞) = aF (∞) ?bF (∞) = a ?b F x 1( ) F x 1 2 为随机变量 X 和 1 X 的分布函数，也应满足性质(3)。 由关系a ?b =1即可验证 2 只有选项A 满足。 例 3．设连续型随机变量X 的分布函数为 ? x Ae , x 0 ? F(x) = ? B, 0 ≤ x 1 ? ? ≥ 1 , 1 Ae?( ?1) x x ? 求：(1) A ，B 的值；(2)X 的密度函数；(3) 1 P{X ≥ }。 3 分析：利用连续型随机变量分布函数的连续性可简单求出(1)；而(2)求的是 密度函数，显然由分布函数求导即可得出；(3)可由分布函数计算得到，也可由 密度函数积分得到。 解 ：(1)由于X 是连续型随机变量，故F(x)是连续