空间曲线的切线与法平面.doc

第六节 偏导数的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 第六节 偏导数的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 ? ? ?x (t) ? ? ? 设空间曲线的方程 ? y (t) (1) ? z (t) ? ? ? z (1)式中的三个函数均可导. ? M? 设 M 对应于 ? ( 0 , y ,z ), t t x ; 0 0 0 ? M ( x ? t 0 对应于 ? x, ? t 0 y 0 ? ? ? y, . ? t z 0 ? ? z) x o ? M y 割线 MM? 的方程为 z ? M? x ? x 0 ? x ? y ? y 0 ? y ? z ? z 0 ? z x o ? M y 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 ?t, x x y y z z ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ? ? x y z ? ? ?t t t , 当M? ? M ?t ? ,即 0时 , 曲线在M处的切线方程 x - x y - y z - z = = . 0 0 0 ? ? ? φ (t ) ψ (t ) ω (t ) 0 0 0 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. ? ? ? ? ? ? T = φ (t ),ψ (t ),ω (t ) 0 0 0 法平面：过M点且与切线垂直的平面. ? ? ? ? ? ? φ (t0 )(x - x0 ) ψ (t0 )( y - y0 ) ω (t0 )(z - z0 ) 0 例1 求曲线? : ? ? x t eu udu cos ，y ? 2sint 0 ? ,z ? 1? e3t 在t ? 0处的切线和法平面方程. cost 解 当t ? 0时，x ? 0, y ? 1,z ? 2, x? ? t y? ? 2cost ? sint, 3 , e cost, z? ? 3t e ? x?(0) ? 1, y?(0) ? 2, z?(0) ? 3, x 1 2 ? 0 ? y ? ? z ? 切线方程 , 1 2 3 法平面方程 x ? 2( y ? 1) ? 3(z ? 2) ? 0, 即x 3 8 0. ? 2y ? z ? ? 特殊地： 1.空间曲线方程为 ? ? ? y = ψ x ? ? ? ? z = ω x ? ? 在M(x0 , y z 处, , ) 0 0 切线方程为 x - x y - y z - z 0 0 0 = = ? ? 1 ψ (t ) ω (t ) 0 0 , 法平面方程为 ( ) ? ?( )( ) ? ?( )( ) ? x - x0 ψ t0 y - y0 ω t0 z - z0 0. ? ?F(x, y,z) 0 2.空间曲线方程为 , ? ? x, z G( y, ) 0 ? 切线方程为 x - x y - y z - z 0 0 0 = = , F F F F F F y z z x x y G G G G G G y z z x x y 0 0 0 法平面方程为 F F F F F F y z ( ) ? z x ( ) ? x y ( ) x - x y - y z - z G G G G G G 0 0 0 y z z x x y 0 0 0 = 0. 例 2 求曲线x2 ? y2 ? z2 ? 6，x ? y ? z ? 0在 点(1,?2, 1)处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式; ? ? 2 2 2 6, 设 F x, y,z = x + y + z - ? ? G x, y,z = x + y + z 则 F = 2x, F = 2y, F = 2z x y z G = 1, G = 1, G = 1 x y z F F y z 2 2 y z ? ? ? 6 G G 1 1 x=1 x=1 y z y=- y=- 2 2 z=1 z=1 F F 2z 2x z x ? ? G G 1 1 x=1 x=1 z x y=- y=- 2 2 z=1 z=1 0 F F x y 2 2 x y ? ? 6 G G 1 1 x=1 x=1 x y y=- y=- 2 2 z=1 z=1 由此得切向量 T? ? {1, 0,?1}, x 1 2 1 ? y ? z ? 所求切线方程为 ? ? , 1 0 1 ? 法平面方程为 (x ? 1) ? 0?( y ? 2) ? (z ? 1) ? 0, ? x ? z ? 0 例 2 求曲线x2 ? y2 ? z2 ? 6，x ? y ? z ? 0在 点(1,?2, 1)处的切线及法平面方程. 解 2 将所给方程的两边对x求导并移项，得 ? dy y ? dx ? dy ? ? ? dx ? z dz dx dz ? d