复变函数第一章习题课.doc

复习及习题课 课程名称：数学物理方法B (学时 64) 课程编号：70L173Q 1 作业要求 要求用练习本，书写工整； 作业本的封面上要注明学号、姓名、班 级； 布置的作业要求全部上交。 2 第一章复数与复数运算 第一节习题(P5)问题： 1）求解步骤省略现象普遍，例如2.4题的求解。 首先1-cosα+isinα是代数式，而非三角式； 复数的模为 幅角为 2 sin α 2 , 因此指数式为 ? α ? ?α ? i arctg? ctg ? 2sin? ?e 2 ? ? . ? ? 2 3 注意1: 复数的三角、指数式中出现的幅角一般都是 主幅角，无需加2kπ (其中k为整数)，道理很简单 ei(?±2kπ)=ei?. 注意2：主幅角被人为地规定大于等于0、小于2π， 并用arctg(y/x)的主值求得。有部分同学在计算2.4 题用了如下计算： 1?cosα +isinα = 2 2 sin α 2 + i2 ? sin? ? α 2 ? ? ? ? cos? ? α 2 ? ? ? = 2 ? sin? ? α 2 ? ? ? ? sin? ? ? ? ? α 2 ? ? ? + i ? cos? ? α 2 ? ? ? ? ? ? = 2 ? sin? ? α 2 ? ? ?π ?α ? cos? ? ? ? 2 ? ? ? ? + i ?π ?α sin? ? 2 ? ? ? ? ? ? = 2 ? sin? ? α 2 ? ?e i(π ? ?α )/2 . 4 这一结果的正确性取决于下面的不等式是否成立 π ?α 0 ≤ 2 2π 显然，在不知道α的情况下，我们无从判断。事实 上，判断α不是问题的根本。 具体数值计算时要判断复数的象限，即实部x和虚 部y的正负，然后用下面公式求出主幅角。 arg z = ? ? ? arctg( arctg( arctg( ? ? y y y / / / x), x) + x) + π , 2π , z I ; 在第 象限 z II III ; 在第 、 象限 z IV . 在第 象限 5 2）复数书写要规范，尽量将虚数单位i写在虚部前 面，例如1-cosα+isinα，不要写成1-cosα+sinαi等. 6 第5 节平面标量场内容： ? 势函数的规定，可以用u(x,y), 也可以用v(x,y); 书中在静电场部分用的是前者，但是在平面无 旋流速场时，定义了后者。为了统一起见，本 课程中，我们统一用u(x,y)表征势函数，而用 v(x,y)表示“量函数”。 7 第3题 (P18). 从极坐标系中的柯西- 拉斯(Laplace)方程的极坐标表示式. 黎曼方程求出拉普 解: 极坐标下C-R 条件为 ? ?u ? ? ?ρ ? ?v ? ? ?ρ ? = = 1 ?v , ρ ?? 1 ?u ? ρ ?? , (1a) (1b) 2 ? g 消去g (其中g=u或v), 就对它求偏导, 使之成为 = ??? ?ρ ?? 的形式. 例如消掉v, Eq. (1a) ρ ρ求偏导, 左右乘 然后对 ? ? u ? 2v ? ? ? ? ? ? ρ = ?ρ ?ρ ?ρ ?? ? ? (2a) 8 接着, Eq. (1b) ?求偏导, 左右对 得到 2 2 ? v 1 ? u = ? 2 ?? ?ρ ρ ?? , (2b) 比较Eqs. (2a)和(2b), 自然得到 ? ?ρ ? ? ? ? ρ ?u ?ρ ? ? ? ? + 1 ρ 2 ? u 2 ?? = 0. (3a) 同理可以消掉u, 得到 ? ?ρ ? ? ? ? ρ ?v ?ρ ? ? ? ? + 1 ρ 2 ? v 2 ?? = 0. (3b) Eqs. (3a)和(3b)就是极坐标下拉普拉斯方程的表达式. 9 消掉u的具体办法: Eq. (1a) ?求偏导, 左右对 得到 2 2 ? u 1 ? v = 2 ?? ?ρ ρ ?? , 接着Eq. (1b) ρ ρ求偏导, 左右乘 然后对 得到 ? ? 2 ? ?v ? u ? ? ρ = ? ? ? ?ρ ?ρ ?ρ ?? ? ? , 比较上面两式, 即可得到Eq. (3b). 10 第1题 (P23). 已知复势f(z)=1/(z-2+i), 画出等温网. 解: 令z=x+iy,代入到复势的表达式中, 得 f (z) = x ? 2 1 +i( y + 1) = x ?2 2 2) (x ? + 1) 2 1) + (1) = u(x, y) +iv(x, y), 由复数相等的关系可求 x ? 2 u = , (2a) (x ? 2) (y 1) 2 + + 2 v = ? (x ? (y + 1) 2) (y 2 + + 2 + + 2 1) .