2012大学城高数B(2)考卷评分标准.doc

PAGE 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 NUMPAGES 4页，第 PAGE 2页 广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( 广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( B ) 课程名称: 高等数学B (2) 。 考试时间: 2012年7 月2日 (第20周 星期一 ) 一、填空题：（每小题4分，共20分） . . . 2. 二．单项选择题 （每小题4分，共20分） 1．（D） 2.（B） 3. (C) 4．（B） 5．(B) 三．计算题（每小题9分，共54分） 1. 设连续函数满足方程，求. 解：方程两端同时对求导得 （*）…….……………(2分) 此为一阶线性非齐次微分方程，设 方法一、由公式法求解： （*）式的通解为 ………………………..(5分) （为任意常数）…………………………(7分) 由原方程知，故 从而所求函数 ……………………………..…(9分) 方法二、常数变易法求解，请相应给分. 计算. 解：……………………………………………（4分） …………………………………………………（6分） ………………………………………..（9分） 设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解： ………………………………（3分） …………………………….（5分） ………………………………（8分） 因为函数具有二阶连续偏导数，故 ……………………………………(9分) 求由曲面及所围成的空间立体闭区域的体积. 解：由消去变量，得两曲面的交线在面上的投影曲线为： ，故空间立体闭区域在面上的投影区域为.（2分） 所求立体的体积为 ………………………………………（4分） ……………………………………………………..（7分） ……………………………………………………………………………（9分） 求非齐次微分方程 的通解. 解：原方程对应的齐次方程为 其特征方程为，特征根为 故原方程对应的齐次方程的通解为： （为任意常数）….（5分） 因为不是特征根，故可设原非齐次微分方程的特解为，…………（6分） 将其代入非齐次方程得，即特解为 从而所求原非齐次微分方程的通解为………………………（9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离. 解：设点为椭圆上的任意点，则点的坐标满足且，原点到点的距离为 原题所求可转换为求函数在约束条件和下的最大值与最小值. 作Lagrange函数 …（5分） 由解得所有可能的极值点为和 …..（7分） 由问题知原点到椭圆的最长与最短距离一定存在，同时 ，故原点到该椭圆的最长距离为，最短距离为…………………………（9分） 四．证明题（6分）设方程确定函数，其中函数具有连续的偏导数且，证明：. 证明：(全微分法)对方程两边求微分得 ……………………………….（2分） 整理得 ……………..（4分） ……………………………………（5分） 故…………………………………………（6分） 注：本题求共有三种方法，其它方法适当给分。