非线性动力学导论讲义(分岔理论).doc

非线性动力学导论 之四：分岔基本理论简介 北京理工大学宇航学院力学系 岳宝增 第三章 非线性动力学系统分岔基本理论 一.一般系统平衡解的稳定性 (1) 二.平衡解的稳定流形与不稳定流形 于 平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不 稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和 谐振子极为相似。其动力学方程为： 其中M代表质量，l 表示摆长，g 为重力加速度，c为阻尼系数。 对时间进行尺度变换 定义 （或直接假设 ）及 d 可以得到系统的简化方程： d 因为 是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变 量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。 我们也可以假设 ，从而从相图上可以观测到系 统关于X的周期特性。为了分析系统的动力学特性， 首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。可求出系统 的平衡点为： 及 求出系统的雅可比矩阵为： 对应于平衡点 有： 其特征值为： 如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有 共轭复根。对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅 可比矩阵为： 其特征值一对符号相反的实数： 根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点， 当d=0时，其对应的特征向量为： 及 对于较小的的d0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋 旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。由 于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运 动。因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为： 无阻尼d=0 阻尼d0 d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另 一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位 置 位置的运动。如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不 稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。 这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联 接： 单摆沿逆时针方 向穿越倒立位置。 单摆没有穿越倒 立位置。 单摆沿顺时针方 向穿越倒立位置。 在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的 运动将趋于下垂平衡位置。例外情形是稳定流形所对 应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。 所有初始条件将终止 于平衡点 三.分岔的基本概念 对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的 形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧， 解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数 目和稳定性等发生突然变化)。人们称解在此临界值处 出现分岔。分岔现象是非线性系统特有的一种非常重 要的性质。 1. 分岔和结构稳定性 以范德玻（Van der Pol）方程为例来讨论分岔现象 。Van der Pol方程是最简单而又具有典型意义的 由 范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础 上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的 振荡。 ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? x 2 2 ?? x 1 2 ??(1?x )x 1 2 ? 分岔的概念 x?? f(x,?) 如果参量 在其某一值 邻近微小变化将引起解（ 运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变 ，此现象即称为分岔（或分叉、分歧、分支），此临 界值称为分岔值。不引起分岔的点称为常点。 ? 结构稳定性 结构稳定性（structural stability）表示在参量微 小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维 持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。 反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解 发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是结构不 稳定的。结构不稳定意味出现分岔。 从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。分岔 之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是 突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌 理论的研究对象。 分岔是非线性领域的重要理论。主要研究内容包括 分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分 岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。 例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左 端加一水平方向力F，考虑棒的形状如何变化。这是 Euler在1744年研究的一个问题， F 它是一个最简单的分岔现象。 分析：当F较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置 而无形变。继续加大F，当F达到某一临界值时，棒将 突然弯曲。设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向 上弯曲，也可能向下弯曲。若用棒的中点偏离原水平 位置的距离x标志棒的形变，则棒的形状在F的临界值 处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。 F P 特别有意思的是，Euler杆向哪一边弯曲是一不确定 问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始 扰动和涨落。 双星裂变 双星裂变理论是由Newton最早在关于地球形状的研 究中撰写的工作。当时很多人对地球的形状究竟是 长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争， 各执一词。其中Cassimi认为是东西扁，而Newton 则坚持认为南北