概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章习题参考答案.doc

第八章 方差分析与回归分析 本章前三节研究方差分析，讨论多个正态总体的比较，后两节研究回归分析．讨论两个变量之间的相 关关系． §8.1 方差分析 8.1.1 问题的提出 上一章讨论了单个或两个正态总体的假设检验，这里讨论多个正态总体的均值比较问题． 通常为了研究某一因素对某项指标的影响情况，将该因素在多种情形下进行抽样检验，作出比较．一 般将该因素称为一个因子，所检验的每种情形称为水平．在每个水平下需要考察的指标都分别构成一个总 体，比较它们的总体均值是否相等．对每一个总体都分别抽取一个样本，样本容量称为重复数． 如果只对一个因子中的多个水平进行比较，称为单因子方差分析，对多个因子的水平进行比较，称为 多因子方差分析．本章只进行单因子方差分析． 例 在饲料养鸡增肥的研究中，现有三种饲料配方：A1 , A2 , A3 ，为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似 的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60 天后观察它们的重量．实验结果如下表所示： 饲料 鸡重/g A1 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028 A2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001 A3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048 在此例中，就是要考察饲料对鸡增重的影响，需要比较三种饲料对鸡增肥的作用是否相同．这里，饲 料就是一个因子，三种饲料配方就是该因子的三个水平，每种饲料喂养的雏鸡 60 天后的重量分别构成一 个总体，这里共有 3 个总体，每一个总体抽取样本的重复数都是 8，比较这 3 个总体的均值是否相等． 8.1.2 单因子方差分析的统计模型 设因子 A 有 r 个水平 A1 , A2 , …, Ar ，在每个水平下需要考察的指标都构成一个总体，即有 r 个总体， 分别记为 Y1 , Y2 , …, Yr ，对每一个总体都分别抽取一个样本，首先考虑重复数相等的情形，设重复数都是 m，总体 Yi 的样本 Yi1 , Yi2 , …, Yim ，i = 1, 2, …, r．作出以下假定： （1）每一个总体都服从正态分布，即Y N i r i ~ (μ ,σ 2 ), =1, 2,L, ； i i （2）各个总体的方差都相等，即 2 2 2 σ1 =σ =L =σ r ，都记为σ 2； 2 （3）各个总体及抽取的样本相互独立，即 Yij 相互独立，i = 1, 2, …, r，j = 1, 2, …, m． 需要比较它们的总体均值是否相等，即检验的原假设与备择假设为 H0：μ 1 = μ 2 = … = μ r vs H1：μ 1 , μ 2 , …, μ r 不全相等， 如果 H0 成立，就可以认为这 r 个水平下的总体均值相同，称为因子 A 不显著；反之，如果 H0 不成立，就 称为因子 A 显著． 在水平 Ai 下的样品 Yij 与该水平下的总体均值μ i 之差ε ij = Yij ? μ i 为随机误差．由于 Yij ~ N (μi , σ 2 )， 因此随机误差ε ij ~ N (0 , σ 2 )．对所有 r 个水平下的总体均值求平均，即 1 μ μ μ μ 1 r ∑ μ = ( + +L+ ) = 1 2 r r i r 1 i= 称为总均值．每个水平 Ai 下的总体均值μ i 与总均值μ 之差 a i = μ i ? μ 称为该水平 Ai 下主效应．显然所有 主效应 a i 之和等于 0，即 r ∑ a = 0 ， i i=1 1 检验所有水平下的总体均值是否相等，也就是检验所有主效应a i 是否全等于0．这样单因子方差分析在重 复数相等的情形下，统计模型为 ? = μ + + ε = Y a , i 1, 2,L, r, ij i ij ? ? r ∑ ? a = 0; i ? i=1 相互独立，且都服从N(0, ).?ε σ 2 ? ij j =1, 2,L, m; 检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = …= a r = 0 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于0． 8.1.3 平方和分解 一．试验数据 对于r 个总体下的试验数据Yij , i = 1, 2, …, r，j = 1, 2, …, m ，记Ti 表示第i 个总体下试验数据总和， Y 表示第i 个总体下样本均值，n = rm 表示总的样本容量，T 表示总的试验数据总和，Y 表示总的样本均 i? 值，即 m ∑ Ti Y = ij j=1 T 1 m ， ∑ Yi? = = Y i ij m m j=1 ， i = 1, 2, …, r， T = r r m ∑ ∑∑ T i = Y ij i=1 i=1 j=1