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第二章 随机变量及其分布
习题 2.1
1． 口袋中有 5 个球，编号为 1, 2, 3, 4, 5．从中任取 3 只，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码．
（1）试求 X 的分布列；
（2）写出 X 的分布函数，并作图．
解：（1）X 的全部可能取值为 3, 4, 5，
?3? ?4?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 1 2 3 2 6
? ? ? ?
且 P{X = 3} = = = 0.1， P{X = 4} = = = 0.3， P{X = 5} = = = 0.6 ，
?5? 10 ?5? 10 ?5? 10
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
3 3 3
? ? ? ? ? ?
故 X 的分布列为
X
P
3
0.1
4
0.3
5
0.6
；
（2）因分布函数 F (x) = P{X ≤ x}，分段点为 x = 3, 4, 5，
当 x 3 时，F (x) = P{X ≤ x} = P (?) = 0，
当 3 ≤ x 4 时，F (x) = P{X ≤ x} = P{X = 3} = 0.1，
当 4 ≤ x 5 时，F (x) = P{X ≤ x} = P{X = 3} + P{X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4，
当 x ≥ 5 时，F (x) = P{X ≤ x} = P{X = 3} + P{X = 4} + P{X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1，
故 X 的分布函数 F(x) =
?0,
?
?0.1,
?
0.4,
?
?
?
1,
x
3
4
x
≤
≤
≥
3;
x
x
5.
4;
5;
y
1
0.4
0.1
0
x
3 4 5
2． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：
（1）X 表示两次所得的最小点数；
（2）Y 表示两次所得的点数之差的绝对值．
解：（1）X 的全部可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，
6 ?52 11
2
且 P{X =1} = = ，
6 36
2
5 ? 4 9
2 2
P{X = 2} = = ，
6 36
2
4 7
2
?32
P{X = 3} = = ，
6 36
2
3 ? 2 5
2 2
P{X = 4} = = ，
6 36
2
2 ?1 3
2
P{X = 5} = = ，
6 36
2
1 1
P{X = } = ，
6 2 =
6 36
故 X 的分布列为
X
P
1
11
36
2
9
36
3
7
36
4
5
36
5
3
36
6
1
36
；
（2）Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
6 6
且 P{Y = 0} = 2 = ，
6 36
5×2 10
P{Y =1} = ，
2 =
6 36
4×2 8
P = = 2 = ，
{Y 2}
6 36
3×2 6
P{ = ，
Y = 3} 2 =
6 36
1
2×2 4 1×2 2
P Y = 2 = ， 2 =
{ 4} = P{Y = 5} = ，
6 36 6 36
故 Y 的分布列为
Y
P
0
6
36
1
10
36
2
8
36
3
6
36
4
4
36
5
2
36
．
3． 口袋中有 7 个白球、3 个黑球．
（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布列；
（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时 X 的概率分布列如何．
解：（1）X 的全部可能取值为 1, 2, 3, 4，
7 3 7 7
且 P{X =1} = ， P{X = 2} = × = ，
10 10 9 30
3 2 7 7
P{X = 3} = × × = ，
10 9 8 120
3 2 1 7 1
P{X = 4} = × × × = ，
10 9 8 7 120
故 X 的概率分布列为
X
P
1
7
10
2
7
30
3
7
120
4
1
120
；
（2）X 的全部可能取值仍为 1, 2, 3, 4，
7 3 8
且 P{X =1} = = 0.7 ， P{X = 2} = × = 0.24 ，
10 10 10
3 2 9 3 2 1 10
P{X = 3} = × × = 0.054， P{X = 4} = × × × = 0.006 ，
10 10 10 10 10 10 10
故 X 的概率分布列为
X
P
1
0.7
2
0.24
3
0.054
4
．
0.006
4． 有 3 个盒子，第一个盒子装有 1 个白球、4 个黑球；第二个盒子装有 2 个白球、3 个黑球；第三个盒
子装有 3 个白球、2 个黑球．现任取一个盒子，从中任取 3 个球．以 X 表示所取到的白球数．
（1
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