概率论与数理统计10二项分布.doc

概率论与数理统计 第10讲 二项分布 张宏浩 二 项 分 布 如果随机变量 X 的分布律为 P ?X k? Cn p ?1? p? ?k ? 0，1，?， n ? ? ? ? n k k k 则称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布， ? ? 记作 X ~ B ， ?n p? ?其中n为自然数，0 ? p ?1为参数 ? 说 明 显然，当 n=1 时 ? p? X ~ B 1， 此时，X 服从Ber noulli 分布． 这说明，Ber noulli 分布是二 项分布的一个特例． 二项分布的概率背景 进行n次Bernoulli试验，设在每次试验中 ?A? p P?A? p q P ? ， ?1? ? 令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的 次数． ?n p? 则 X ~ B ， 分布律的验证 0 ? p ?1 ⑴．由于 以及 n 为自然数，可知 n ?1? p? ? 0 ?k ? 0，1，?， n ? n k ? k k C p ⑵．又由二项式定理，可知 n ? ?1 ? ? ?1 ?? 1 ? n k k C n p p p p ? n k ? ? ? ? k 0 ? 所以 P ?X k? Cn p ?1? p? ?k ? 0，1， ?， n ? ? ? ? k k n k 是分布律． 练习1 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？ 练习1解答 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验， 1 ? ? ? ? A 答对一道题 ，则 ? P A ? 4 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验． 设：X：该学生靠猜测能答对的题数 ? 则 X ~ B?5， ? 1 4 ? ? ? 练习1解答（续） 所以 ? 4 ?? P?X ? 4? P 至少能答对 道题 ? ? 4?? ? ? 5? ? P X P X 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? C ? ? 4 ? ? ? ? ? 5 4 ? 4 ? 4 ? 1 ? 64 5 ? ? ? 二项分布的分布形态 ? ， ?， 则 若 X ~ B n p P X k n 1 p ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? P X k 1 k(1 p) ? ? ? k ? ? ? ? ? ? ? ? 1, 1, 1, k k k ? ? ? (n (n (n ? 1) ? 1) ? 1) p p p 如果 ? ? ? ? ? ? n 1 p是整数，则 k n 1 p 或 n 1 p ? ? ? ? ? 1时， P(X 如果 ? k)达到最大 ； ? ? ?? ? ? 若 n 1 p不是整数，则 k n 1 p 时， ? ? ? P(X k)达到最大 ； ? 练习2 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命 中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其 相应的概率是多少？ 练习2解答 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命 中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其 相应的概率是多少？ 解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令： X： 300射击中命中目标的次数． 则由题意 X ~ B?300， 0.44?． ? ? ，它不是整数 由于 300?1 ?0.44 ?132.44 练习2解答（续） 因此，最可能射击的命中次数为 ? ? k ? ? 0 132.44 132 其相应的概率为 ? ? P X ? ? C ? ? 132 0.44 0.56 132 132 168 300 ? 0. 04636 期望与方差 二项分布 方法1： ? 。 P X k nk p k q n k , k 0 ,1, , { ? ? ? ? } C n EX ? n n n! ? ? k C k k k k n k ? ? n p qn k p q ? ? ? ? k k 0 ? ? 0 k!(n k)! ? n ? np k 1 ? (k ? (n 1)! ? 1)! (n 1 ? ? (k ? 1))! ? ? ? 1 n p k q 1 (k ? 1) EX EX n n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 (k 1) i i n 1 i ? np n p q np C p q C k?1 k 1 n ? 1 n 1 ? k 1 i 0 ? ? ? np( ? )n?1 ? p q np n! n n ? ? ? ? k 2 k k 2 ? ? ? C p k n k ? 2 qn k nk