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利息理论及其应用 2004 年 2 月 6 月 主讲黄 海 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —1 第一章 利息基本计算 1.1 利息基本函数 v 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得资金使 用权而支付给贷款人(lender)的报酬 v 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时 间的投资后产生的价值增值 例 在银行开立储蓄帐户把平时积累下来的多余钱 存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益——利息 例购买国库券 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —2 累积函数(accumulation function) 本金(principal) 初始投资的资本金额 累积值(accumulated value)过一定时期后收到 的总金额 利息(interest) 累积值与本金之间的金额差值 假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金则在时 刻 t 的累积值记为a(t) 称为累积函数 注时间t为从投资之日算起的时间可以用不同的 单位来度量 1单位的本金 累积值a(t) 0 t时间t 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —3 累积函数a(t) 是关于时间的函数满足 1) a(0) = 1 2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 t2时有 a(t1) a(t2) 如果在t = 0 1 2 …等时刻观察累积函数a(t)得 到一系列累积值a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 …之间累积函数a(t)的取值是如何变化的 v 离散型 利息是跳跃产生 的 v连续型 利息是连续产生的 注C 一般的 利息被认为是连续产生的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —4 例 考虑以下 3类特殊的累积函数 a(t) 1 常数(系列 1) a(t) = 1 2线性(系列 2) a(t) = 1 + 2.5% t 3 指数(系列 3) t a(t) = (1 + 2.5%) 注C检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求 注C 学习使用 Excel进行金融计算 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —5 i= i= 2.50% 2.50% 时刻t a(t)=1 a(t)=1+it a(t)=(1+i)^t 0 1 1.000 1.000 1 1 1.025 1.025 2 1 1.050 1.051 3 1 1.075 1.077 4 1 1.100 1.104 5 1 1.125 1.131 6 1 1.150 1.160 7 1 1.175 1.189 8 1 1.200 1.218 9 1 1.225 1.249 10 1 1.250 1.280 11 1 1.275 1.312 12 1 1.300 1.345 13 1 1.325 1.379 14 1 1.350 1.413 15 1 1.375 1.448 16 1 1.400 1.485 17 1 1.425 1.522 18 1 1.450 1.560 19 1 1.475 1.599 20 1 1.500 1.639 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —6 几种累积函数的比较 1.7 1.6 1.5 1.4 系列1 1.3 系列2 1.2 系列3 1.1 1 0.9 0.8 0 5 10 15 20 时间 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —7 总量函数 amount function 当原始投资不是1 个单位的本金 而是P 个单位金 额的本金时则把P 个单位金额本金的原始投资在时 刻t 的累积值记为A(t) 称为总量函数 总量函数A(t)具有如下的性质 1) A(0) = P 2) A(t) = P a(t) P 0 t 0 注C总量函数 A(t)的计算可以借助于累积函数 a(t) 的计 算 注C 从总量函数可得累积函数为 a(t)= A(t) / A(0) t 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —8 利息 interest 将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金 额记为In则有 I = A(n) - A(n - 1)对于整数 n 1 n 注C 利息金额In 看作是在整个时期内所产生的 在 最后时刻实现的 支付的 得到的 注C 更一般的记总量函数 A(t)在时间段[t1,t2]内所 I则有 获得的利息金额为 t t 1 , 2 I 1 , 2 = A(t2 )- A(t1) 0 t t 其中 t2 t1 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 —9 利率 (interest rate) 思考 假设两个储户分别在银行存入了 1 万元 1 千元的一年期定期储蓄 如果到期后银行都付给他们 同样的利息金