连续系统离散化方法.doc

5.2.1 连续系统离散化方法 1、反向差分变换法 对于给定的 D(s) U(s) 1 = = E(s) s （5.1） du(t) dt = e(t) 其微分方程为 ，用反向差分代替微分，得 du(t) u(k) ?u(k ?1) ≈ = dt T e(k) （5.2） (1? z?1)U(z) = TE(z) 对（5.2）式两边取Z 变换得： ，即 D(z) U(z) 1 = = ? ?1 E(z) 1 z T （5.3） 比较式（5.1）与式（5.3）可知，将式（5.1）中的s 直接用 s = 1? z ?1 T （5.4） 代入即可，即 D(z) = D(s) （5.5） 1?z ?1 s= T 另外，还可将 z? 作级数展开 1 Ts T s 2 2 z?1 = e? =1?Ts + ?... 2 （5.6） 取一阶近似 z?1 ≈1?Ts ，也可得到 18 第 2 章 计算机控制系统的信号转换 s = 1 z ? ? 1 T （5.7） z s Re(s) 0 s 平面的稳定域可以通过式（5.4）映射到 平面。因为 平面的稳定域为 ，参 z 考式（5.4），可以写出 平面的稳定域为： ? ? ? 1 1 z ? Re ? T ? ? ? ? ? = ? ? ? z 1 Re? ? ? Tz ? 0 T 为正数，将 z 写成 z = σ + jω ，上式可以写成 ?σ + ω ? ? j 1 Re? ? ? σ + jω ? ? 0 即 ?(σ + ω ? )(σ ? ω)? ?σ ?σ +ω + ω ? σ ?σ +ω j 1 j j 2 2 2 2 Re = Re = 0 ? + ? ? ?? + ?? + (σ jω)(σ jω) σ ω σ ω 2 2 2 2 ? ? 上式可以写成 2 ?σ ? ω 1 ? ? ? + 2 ? ? 2 ? ? ? 2 1 ? ? 2 ? 由上式可以看出， s 平面的稳定域映射到 z 平面上以σ =1/ 2 ，ω = 0为圆心， 为半 1/ 2 径的圆内，如图 5-3 所示。 jω Im ω = 0 σ Re z = 1 图 5-3 反向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 反向差分变换方法的主要特点如下： ①变换计算简单； ②由图 5-3 看出， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果 第2 章 计算机控制系统的信号转换 19 D 稳定，则变换后的D(z)也是稳定的； (s) ③离散滤波器的过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定的失真，需要较小的采样 周期T 。 2、正向差分变换法 对于给定的 D(s) U(s) 1 = = E(s) s （5.8） du(t) dt = e(t) 其微分方程为 ，用正向差分代替微分，即 du(t) u(k +1) ?u(k) ≈ = dt T e(k) 两边取Z 变换得：(z ?1)U(z) = TE(z) ，即 D(z) U(z) 1 = = z ?1 E(z) T （5.9） 比较式（5.8）与式（5.9）可知，对D(s) 进行正向差分变换时，将其中的s 直接用 s = z ?1 T （5.10） 代入即可，即 D(z) = D(s) ? (5.11） z 1 s= T 另外还可将z 级数展开 ： Ts T s 2 2 z = e =1+Ts + +... 2 20 第 2 章 计算机控制系统的信号转换 取一阶近似 z ≈1+Ts ，也可得到： s = z ?1 T 使用正向差分方法时，有个严重问题是，s 平面的左半平面映射到 平面的单位圆外。因 z s Re(s) 0 z 为 平面的稳定域为 ，参考式（5.10），可以写出 平面的稳定域为： ? ? ? z 1 Re 0 ? ? ? T ? 令 z = σ + jω ，则上式可以写成 ?σ + ? ? jω 1 Re? ? ? T ? 0 因为T 0，则有σ ?1 0 即σ 1，如图 5-4 所示。 jω Im ω = 0 σ Re z =1 图 5-4 正向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 s z 由此，得出正向差分法变换的特点： 平面左半平面的极点可能映射到 平面单位圆外。 因而，用这种方法所得到的离散滤波器可能是不稳定的，实际应用中基本上不采用这种方法。 3、双线性变换法 双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = eTs ，将 Ts 改写为如下形式： e 第 2 章 计算机控制系统的信号转换 21 e Ts = Ts e 2 Ts ? e 2 （5.12） 然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得： z = 1+ 1? Ts 2