223向量的数乘运算及其几何意义.ppt

2.2.3 向量的数乘运算 b a O a a a a a a a a b b b b b b b B b a A a + b 1. 向量加法： 三角形法则 b a A a a a a a a a a b b b B b a D a C b a+b 平行四边形法则 向量的加法性质： 0 n A A 0 一般地， 口诀： “ 首尾相接首尾相连” . 图示： a B a a a a a a a A a a-b b b b b b b b b O . 向量减法的几何作法： 2 、 向量的减法： a b ? ? ( ). a b ? ? 说明： 向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径 很多，十分灵活，如平面任一向量即可以写成两个向量 的和，也可以写成两个向量的差等．通过这种调整来简 化运算． 说 明： 思考： 若平行四边形 ABCD 的一组邻边分别为 ，你能确定四边 形 ABCD 的形状吗？ b a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且满足 , 2.2.3 向量数乘运算 定义 （这种运算叫做 向量的数乘 ） 特别地， 例 2 解： 反过来， 向量共线定理： A B C D E 解 例 3 已知两个非零向量 2 1 e e ， 不共线，如果 ， 2 1 e 3 e 2 AB ? ? ， 2 1 e 23 e 6 BC ? ? ， 2 1 e 8 e 4 CD ? ? . 三点共线 ， ， 求证： D B A CD BC AB AD ? ? ? ? 2 1 2 1 2 1 e 8 e 4 e 23 e 6 e 3 e 2 ? ? ? ? ? ? 2 1 e 18 e 12 ? ? ) ( 2 1 e 3 e 2 6 ? ? . AB 6 ? . 共线 与 AB AD ? ， 有共同的起点 与 又 A AB AD . 三点共线 ， ， D B A ? 变式： 证明： 由共线向量定理可得， A ， B ， C 三点共线 ? 存在 λ ∈ R ， 使 AC → ＝ λ AB → . 请你根据该结论证明下列常用推论： 证明 若 A 、 B 、 C 三点共线，则存在 λ ∈ R ，使 AC → ＝ λ AB → . ∴ OC → － OA → ＝ λ ( OB → － OA → ) ， ∴ OC → ＝ (1 － λ ) OA → ＋ λ OB → . 令 1 － λ ＝ α ， λ ＝ β ，则 OC → ＝ α OA → ＋ β OB → ，且 α ＋ β ＝ 1. 思考：如何证明三点共线 推论 1 ： 已知 O 为平面 ABC 内任一点，若 A 、 B 、 C 三点 共线，则存在 α 、 β ∈ R ，使 OC → ＝ α OA → ＋ β OB → ，其中 α ＋ β ＝ 1. 课堂小结 定义 （这种运算叫做 向量的数乘 ） 特别地，