初等几何第四章妙趣横生的几何变换.ppt

第四章 妙趣横生的几何变换 ? 早在 1872 年 M. 克莱因（ Morris Kline ， 1908 — 1992 ）教授就在他的论文“关于近代几何研究 的比较观察”中，把几何定义为在某种变化群 下，研究图形的不变性与不变量的学科．正是 因为图形的不变性，才使图形变换在绘图、力 学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网 络以及日常生活中得到广泛应用 . 时至今日， 几何变换的思想已经渗透到了中学的几何课程 之中 . 应用几何变换的观点、思想与方法有效 处理中学几何中的问题已成为了当今数学课程 改革的一个新思路． 4.1 图形的相等或合同 ? 如果两个图形 F 和 F 的点之间具有一一对应 关系，并且 F 上任意两点所确定的线段与 F 上与之对应的两点所确定的线段总相等， 那么图形 F 和图形 F 称为相等或合同． ? 显然，图形的相等具有反身性，对称性和 传递性． ? 定理 1 在相等的图形中，与共线点对应的 仍是共线点． ? 推论 直线的相等图形是直线． ? 定理 2 相等图形的对应角相等． ? 图形的相等有两种情况 . ? 在平面几何中，两个相等的图形 F 和 F ，对于 F 上不共线的任意三点 A 、 B 、 C 和 F 上三个对 应点 A 、 B 、 C ，如果我们让两双对应点重合， 则第三双对应点或者重合，或者对称于重合直 线 ． ? 如果重合，两图形 F 和 F 称为全 ( 相 ) 等，这时 两图形的转向相同 , 如图 (1) ． ? 如果对称于重合直线 ，则称 F 和 F 镜照相等， 这时两图形的转向相反 , 如图 (2) ． （ 1 ） （ 2 ） 两个全相等的平面图形，只要有两对对应点叠 合，便完全叠合了．两个镜照相等的平面图形， 若不将其中一个离开平面，就无法叠合． 4. 2 平移和旋转变换 ? 4.2.1 运动 ? 所谓运动就是一个变换，把图形 F 的点变换为 图形 F 的点，使任意两点间的距离 ( 从而使角 度 ) 总保持不变，转向也保持不变． ? 两个全等图形可用运动而叠合． ? 将一图形变换为其自身使其每一点都不动的 运动称为幺变换．记作 I . ? 设图形 F 经运动 f 变换为图形 F ，则写作 f ( F ) ＝ F ．因为两个图形的运动是可逆的，所以称 F 到 F 的变换为 f 的逆 ( 变换 ) ，记作 F ＝ f -1 ( F ) ． ? 如果一个平面图形经过 f 1 与 f 2 两次一一变换， 所得到的像与经过一一变换 f 3 所得到的像完 全相同，我们就说 f 3 是 f 1 与 f 2 的积，记作 f 3 ＝ f 2 · f 1 ． ? 这里，值得注意的是运动的先后顺序跟 书写的先后顺序相反 . ? 经过一个变换，没有变动位置的点和直线， 称为这个变换的二重点 ( 或不变点 ) 和二重线 ( 或不变直线 ) ． 4.2.2 平移变换 ? 设 a 是已知向量， T 是平面上的变换．如果对于 任一对对应点 P 、 P ，通过变换 T 总有 ， ? 那么 T 叫做平移变换，记为 T ( a ) , 其中 a 的方向 叫做平移方向， | a | 叫做平移距离 . ? 由定义可知，平移变换由一向量或一对对应点 唯一确定 . ? 恒等变换可以看成是平移变换，其平移向量是 零向量，即 I = T ( 0 ). ? 在 T ( a ) 变换下，点 A 变为 A ，图形 F 变为 F ，可 表示为 PP a ? ? ( ) ( ) , T T A A F F ? ? ??? ? ??? ? a a ? 平移变换具有下列性质： ? 性质 1 平移是运动 . ? 性质 2 平移的逆是平移 . ? 性质 3 两平移变换的乘积仍是一个平移 . ? 性质 4 在平移变换下，直线 l 变为直线 l ，并 且 l ∥ l 或者 l 与 l 重合． ? 性质 5 非恒等变换的平移没有不变点，但 有无数条不变直线，它们都平行于平移方 向 . 4.2.3 旋转变换 ? 设 O 为平面上一定点， φ 为一个有向角， R 是平面 上的变换．如果对于任一对对应点 P 、 P ，通过 变换 R 总有 OP = OP ， ∠ POP = φ ．那么变换 R 叫做 以 O 为旋转中心， φ 为旋转角的旋转变换，记为 R ( O , φ ). ? 显然，旋转变换由旋转中心与旋转