南开大学2020年数学分析真题参考解答与相关知识分析与小结.pdf

南开大学2020 年数学分析真题参考解答∗ 小追2020、杨潇旭 更新：2020 年5 月13 日 Abstract 本文以南开大学2020 年数学分析真题为主线，分两个部分讲解 一点点预备知识小结：把我之前总结的一些知识点以及从一些教材和文献中学到的进行 了一点小的整理，为后面的解答所需的知识作个小铺垫，其目的是既为了复习巩固一下 基础知识，又可以在看解答时可以思路更加清晰明了，对于数分基础不是非常扎实的朋 友当遇到解答过程中忘了的定理、公式查阅也可以更加方便一些。 真题参考解答：由于笔者能力有限，所提出的解析只是我们自己的解题思路，只供参考 与交流，如有错误，还请多多包涵哈！ 1 一点点预备知识小结 1.1 Cauchy 准则1 Cauchy准则 数列{xn } 收敛(只有有限极限)=======⇒ ∀ϵ 0, ∃N 0, 当m, n N 时，有|xm − xn | 亦即 ϵ ===⇒ ∀ϵ 0, ∃N 0, 当n N 时，|xn+p − xn | ϵ (∀p 0) 1.2 函数的连续与一致连续性2 1.2.1 定义与充要条件 定义1 连续设x ⊂ R, X → R 为一元函数，x ∈ X . 如果lim f (x) = f (x ), 即∀ϵ 0, ∃δ = 0 x→x0 0 δ (ϵ, x ) 0, 当x ∈ X, |x − x | δ 时，有 0 0 |f (x) − f (x )| ϵ 0 则称f 在x0 ∈ X 点处连续，而x0 称为f 的连续点. 如果x0 不是f 的连续点，则称它为f 的不 连续点或间断点. 如果f 在X 中每一点处都连续，则称f 在X 中连续或f 为X 中的连续函数 ∗ 本文于2020.5.13 日完稿，在此，小追很荣幸同谢学长探讨交流，本文的完成也多亏他的鼓励与帮助 1本知识选自裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》 2本知识选自徐森林的《数学分析》第一册 定义2 一致连续设x ⊂ R, X → R 为一元函数. 如果∀ϵ 0, ∃δ = δ (ϵ) 0 (δ (ϵ) 只与ϵ 有关，而 ′ ′′ ′ ′′ 与X 中的点x 无关) , 当x , x ∈ X 且 |x − x | δ 时，有 ′ ′′ |f (x ) − f (x )| ϵ 则称f 在X 上是一致连续的. 定理1 (非) 一致连续的充要条件 (一致连续的充要条件) f 在X 上一致连续⇒= 对与∀x′ , x′′ ∈ X, n ∈ N, |x′ − x′′ | → 0 (x → +∞), 必有|f (x′ ) − n n n n n f (x′′ )| → 0 (n → +∞) . n (非一致连续的充要条件) f 在X 上一致连续⇒= ∃x′ , x′′ ∈ N, n ∈ N , 虽|x′ − x′′