直线和椭圆的位置关系高三复习分析.ppt

【答案】 (1) 40 2 9 (2)6x － 5y － 28 ＝ 0 已知点 ， 椭圆 ： （ ） 的离心率为 ， 是椭圆的焦点， 直线 的 斜率为 ， 为坐标原点。 （ 1 ）求 的方程； （ 2 ） 设过点 的直线 与 相交于 ， 两 点，当 的面积最大时，求 的方程。 2014 陕西 已知椭圆 经过点 ，离心 率为 ，左右焦点分别为 ， 。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ） 若直线 与椭圆交于 、 两点， 与以 为直径的圆交于 、 两点，且满足 ，求直线 的方程。 直线与椭圆的位置关系 主讲人：高三数学组 回忆：直线与圆的位置关系 1. 位置关系：相交、相切、相离 2. 判别方法 ( 代数法 ) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1) △ 0 ? 直线与圆相交 ? 有两个公共点； (2) △ =0 ? 直线与圆相切 ? 有且只有一个公共点； (3) △ 0 ? 直线与圆相离 ? 无公共点． 通法 直线与椭圆的位置关系 种类 : 相离 没有交点 相切 ( 一个交点 ) 相交 ( 二个交点 ) 相离 ( 没有交点 ) 相切 ( 一个交点 ) 相交 ( 二个交点 ) 椭圆 x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 ＝ 1(ab0) 的参数方程为 ? ? ? ? ? x ＝ acos θ y ＝ bsin θ (θ 是参数 ) ． 点 P(x 0 ， y 0 ) 和椭圆 x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 ＝ 1(ab0) 的关系： (1)P(x 0 ， y 0 ) 在椭圆内 x 0 2 a 2 ＋ y 0 2 b 2 1 ． (2)P(x 0 ， y 0 ) 在椭圆上 x 0 2 a 2 ＋ y 0 2 b 2 ＝ 1 ． (3)P(x 0 ， y 0 ) 在椭圆外 x 0 2 a 2 ＋ y 0 2 b 2 1 ． 直线与椭圆位置关系判断 联立 ? ? ? ? ? y ＝ kx ＋ m ， x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 ＝ 1 ， 得 (b 2 ＋ a 2 k 2 )x 2 ＋ 2a 2 kmx ＋ a 2 m 2 － a 2 b 2 ＝ 0 该一元二次方程的 判别式为 Δ. Δ 0 有两个交点 相交； Δ ＝ 0 一个交点 相切； Δ 0 无交点 相离． 例 1.K 为何值时 , 直线 y=kx+2 和曲线 2x 2 +3y 2 =6 有两 个公共点 ? 有一个公共点 ? 没有公共点 ? 例 2. 无论 k 为何值 , 直线 y=kx+2 和曲线 交点情况满足 ( ) A. 没有公共点 B. 一个公共点 C. 两个公共点 D. 有公共点 2 2 1 9 4 x y ? ? D 1 直线与椭圆的位置关系 6 k 3 6 6 k k- 3 3 6 6 - k 3 3 ? ? 当 = 时有一个交点 当 或 时有两个交点 当 时没有交点 ? 题型一 直线与椭圆的位置关系 例 1 已知对 k ∈ R ，直线 y － kx － 1 ＝ 0 与椭圆 x 2 5 ＋ y 2 m ＝ 1 恒 有公共点，求实数 m 的取值范围． 【思路】 该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线 位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组 必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别 式 Δ ≥ 0 求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过 的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆 内，这样便可得到关于参数 m 的不等式，解之即可． 【解析】 方法一： 由椭圆的方程， 可知 m0 ， 且 m ≠ 5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得 ? ? ? ? ? y － kx － 1 ＝ 0 ，① x 2 5 ＋ y 2 m ＝ 1 ，② 由 ① ，得 y ＝ kx ＋ 1. 代入 ② ，得 x 2 5 ＋ （ kx ＋ 1 ） 2 m ＝ 1. 整理，得 (5k 2 ＋ m)x 2 ＋ 10kx ＋ 5(1 － m) ＝ 0. 因为直线与椭圆恒有公共点，故 Δ ＝ (10k) 2 － 4 × (5k 2 ＋ m) × 5(1 － m) ＝ 20(5k 2 m － m ＋ m 2 ) ≥ 0. 因为 m0 ，所以不等式等价于 5k 2 － 1 ＋ m ≥ 0 ，即 k 2 ≥ 1 － m 5 ， 由题意， 可知不等式恒成立， 则 1 － m