正弦定理公开课.ppt

5.9.1 正弦定理 资中一中 黄勇 问题 : 两个工程人员在野外作业 , 在一条不知道宽度的湍 急的大河边休息 . 工程人员甲说 : 河对岸有棵椰子树 . 如果你能用测角仪和卷尺测出那棵椰子树到我们这里 的距离 , 回家以后我请你喝冰镇椰子汁 . 乙说 , 那太好了 , 我喝定了 . 分析 : 如图假设对岸的椰子树是 C 点 . 直线 AB 就是河岸的 两点 . 我们现在的位置是 A 点 . 沿这条河从 A 点走 30 米到 B 点 . 测得∠ A=30 0 , ∠ B =45 0 , 现在可以算出 AC 的长了 . 已知在△ ABC 中，∠ A=30o ，∠ B=45o ， AB=30 米 求 AC 的长？ 思考 : 如果你是乙你能喝到冰镇椰子汁吗 ? 你该怎么测 ? ? 夹角的范围是： 0 ? ≤ ? ≤180 ? ? 判断向量夹角时两向量必须移至同一起点 1 、 向量的数量积 (1) 、 向量的夹角 ： | || | cos a b a b ? ? ? (2) 、 向量的数量积 ： (3) 、 数量积的运算律 ： a b b a ? ? ? ? ? ? ? ? 1 c b c a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 2 B A C A B C c b a 2 2 2 c b a ? ? ? ? ? 90 B A (2) 、边的关系： (3) 、边角关系： 2 、 直角三角形中的边角关系 : (1) 、角的关系： c a A ? sin c b B ? sin 1 sin ? C A a c sin ? ? B b c sin ? . sin C c c ? C c B b A a sin sin sin ? ? ? 在等边三角形中 , 这个等式成立吗 ? ? ? ? ? ? 60 sin 1 60 sin 1 60 sin 1 即 C c B b A a sin sin sin ? ? A B C C=1 a=1 b=1 ? 60 ? 60 ? 60 在等腰三角形中 , 这个等式成立吗 ? 3 ? a A B C C=1 b=1 ? 30 ? 120 ? 30 ? ? ? ? ? 120 sin 3 30 sin 1 30 sin 1 此等式能推广到任意的锐角三角形、钝角三角形吗 ? 即 C c B b A a sin sin sin ? ? 怎么证明 呢 ？ 作 锐角 三角形 ABC 的外接圆 , O 为圆心 . 设圆 O 的半径为 R . O C A B a b c D 连接 CO 并延长，与圆交 于点 D , 再连接 BD . . D A ? ? ? 则 所以， a = CD · sin D = 2 R · sin A . 证法一几何法 . 2 sin , 2 sin R C c R B b ? ? 同理， . 2 sin sin sin R C c B b A a ? ? ? ? R A a 2 sin ? ? 同理可证在钝角三角形中上式也成立 1 、当 ? ABC 为锐角三角形时，如图 则 的夹角为 ________, 的夹角为 ________, 的夹角为 ________. j 与 AC j 与 AB j 与 CB 90 O 0 90 A - 0 90 C - A C B a b c ) 90 cos( ) 90 cos( 90 cos A AB j C CB j AC j ? ? ? ? ? ? ? ? 　　 A c C a sin sin ? ? 　 ) 90 cos( ) 90 cos( A c C a ? ? ? ? ? ? 即 AB CB AC ? ? : 则可得 由向量加法的三角形法 AB j CB AC j ? ? ? ? ? ) ( 即 AB j CB j AC j ? ? ? ? ? C c A a sin sin ? 即 过 A 作单位向量 垂直 , j AC 与 j 证法二 : 向量法 C c B b sin sin