演绎归纳与类比.ppt

演绎、归纳与类比 演绎推理 ? 演绎推理是从一般到特殊的推理 . 用演绎推理 获得的结论，只要前提可靠，结论就一定可 靠 . 在演绎推理中，非常重要的一种是三段论 . ? 所谓三段论是从某类事物的全称判断和一个 特称判断得出一个新的，较小的全称或特称 判断的推理形式 . ? 演绎推理是证明方法 . 只要前提正确，推理 规则正确，得到的结论一定正确 . 第一数学归纳法 ? 设 T (n) 是一个关于正整数的命题 , 如果 T (n) 满足： （ 1 ）对 n=1 成立； （ 2 ）假设 T (k)(k 是正整数,k≥1)成立能推 出 T (k+1) 成立 ; 那么命题 T (n) 对一切正整数成立 . 第二数学归纳法 ? 设 T (n) 是一个关于正整数的命题 , 如果 T (n) 满足 : （ 1 ）对 n=1 成立 ; （ 2 ）假设 T (t)(1 ≤t≤k的正整数 ) 成立能 推出 T (k+1) 成立 ; 那么命题 T (n) 对一切正整数成立 . 第二数学归纳法举例 ? 有两堆棋子，数目相同，两人玩耍， 规则是：两人轮流取子，每人可以 在一堆中任意取子，但不能同时在 两堆取，取得最后一颗的人获胜， 求证后取者一定胜利 . 跳步归纳法 ? 设 T (n) 是一个关于正整数的命题 , 如果 T (n) 满足 : （ 1 ）对 n=1,2, … 成立 ; （ 2 ）假设 T (k)(k 是正整数,1≤k≤ )成立 能推出 T (k+ ) 成立； 那么命题 T (n) 对一切正整数成立 . 跳步归纳法证明 跳步归纳法举例 ? 证明任一正方形都可以剖分成个数 多于 5 个的正方形 . “ 倒序”归纳法 ? 设 T (n) 是一个关于正整数的命题 , 如果 T (n) 满足 : （ 1 ）对无穷多个正整数成立 ; （ 2 ）假设 T (k+1)(k ≥ 1 正整数 ) 成立能推出 T (k) 成立； 那么命题 T (n) 对一切正整数成立 . “ 倒序”归纳法证明 “ 倒序”归纳法举例 ? 已知函数 f(x) 满足如下条件 : （ 1 ）定义域与值域均为正整数集合 , （ 2 ） f(2)=2; （ 3 ）当 nm 时 ,f(n)f(m); （ 4 ） f(n+m)=f(n)+f(m), 求证 :f(x)=x. “ 螺旋”归纳法 ? 设 P (n) 与 T (n) 是两个关于正整数的命题 , 如果 P (n) 与 T (n) 满足： （ 1 ） P (1) 成立 ; （ 2 ）假设 P (k)(k 是正整数,k≥1)成立能推 出 T (k) 成立且 T (k) 成立能推出 P (k+1) 成 立； 那么命题 P (n) 与 T (n) 对一切正整数同时成 立 . “ 螺旋”归纳法证明 “ 螺旋”归纳法举例 ? 数列 { } 满足 其中 n 是正整数 , 又令 表示数列 { } 的 前 n 项和 , 求证： i a 1 ) 1 ( 3 , 3 1 2 2 2 ? ? ? ? ? n n a n a n n ) 1 3 4 ( 2 1 ), 1 3 4 ( 2 1 2 1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? n n n S n n n S n n n S i a 二重归纳法 ? 设 P (n,m) 是关于正整数 n,m 的命题 , 如果 P (n,m) 满 足： （ 1 ） P (1,1) 成立 ; （ 2 ）假设 P (t,m)(t 是正整数 ,1 ≤ t ≤ k) 成立能推出 P (k+1,m) 成立 ; （ 3 ）假设 P (n,s)(s 是正整数 ,1 ≤ s ≤ k) 成立能推出 P (n,k+1) 成立； 那么命题 P (n,m) 对一切正整数 n,m 成立 . 二重归纳法证明 ? 。 二重归纳法举例 归纳推理 ? 归纳推理是从特殊到一般的推理，既由 几个单称判断或特称判断得到一个新的 全称判断的推理 . 它可以进一步划分为完 全归纳推理和不完全归纳推理 . 完全归纳推理 ? 完全归纳推理是考察一类事物的每一个对 象，肯定或否定它们具有某一属性，从而 得到这类事物都具有或都不具有这一属性 的一般性结论的推理形式 . ? 完全归纳法获得的结论是正确的 . ? 采用完全归纳推理应注意 :(1) 研究对象的 数量不宜太大，且要确知全部对象为何； (2) 研究的属性应是这些对象所固有的、