机械振动5多自由度系统的振动5 6资料.ppt

1 机械振动第五章 2 § 5.5 系统对初始条件的响应 · 振型叠加法 系统振动方程 0 ) ( ) ( ? ? t t Kq q M ? ? 的 向 量 。 为 广 义 坐 标 其 中 ) , , 2 , 1 )( ( ) ( n i t q t i ? ? q ） ， 和 初 速 度 个 初 始 条 件 （ 初 位 移 如 果 给 定 ) 0 ( ) 0 ( 2 q q ? n 响应。 ，即系统对 初值条件的 就完全确 定了一组特解 ） （ 1 5 . 5 ? 惯性耦合， 方程，包括弹性耦合和 一般来说，上式是耦合 个 微分 方 程组 ） 。 解 联立 方 程组 （ 在 给定 初 始条 件 下 要求 n 个 单自 由 度 方程 。 耦 合项 ， 成 理 想的 情 况 是方 程 组无 n 消除耦合。 的，可通过坐标变换， 耦合项是由坐标系决定 3 前文已证明固有振型向量的正交性，下面利用振 型向量进行坐标变换，将得到解耦的方程组。 ， 的 固 有 振 型 矩 阵 为 假 设 方 程 u Kq q M 0 ) ( ) ( ? ? t t ? ? 称 为 固 有 坐 标 向 量 ， 令 ) ( ) ( ) ( t t t ξ u ξ q ? 左乘方程两边，得： 代入方程后，并用 T u ） （ 3 5 . 5 ? ，得到： 坐标变换 若用正则振型矩阵进行 ) ( ) ( t t u η q ? 个单自 由度方程。 成 ）都是解 耦的方程组， ）和（ （ n 5 5 . 5 3 5 . 5 ? ? 0 ) ( ) ( ? ? t t T T Ku ξ u ξ Mu u ? ? 0 ) ( ) ( ? ? ? t t r r ξ K ξ M ? ? 矩阵 模态刚度矩阵，是对角 分别为模态质量矩阵和 和 式中 r r K M 0 ) ( ) ( ? ? t t Λη η ? ? ） （ 5 5 . 5 ? 4 始 条件 的响 应： ， 由 此可 得各 坐标 对 初 均 为单 自由 度振 动 方程 ) , 2 , 1 ( ) ( sin ) ( cos ) ( 0 0 n i t t t i i i i i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） （ 6 5 . 5 ? ) ( ) ( ) ( ) ( 1 t t t t - q u η u η q ? ? ， 得 到 ： 由 为： 各正则坐标的初始条件 写出分量形式： 把 0 ) ( ) ( ? ? t t Λη η ? ? ） （ 10 5 . 5 ? ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( ) ( 2 n i t η t η i i i ? ? ? ? ? ? ? 移 和 初 始 速 度 。 是 各 正 则 坐 标 的 初 始 位 和 其 中 0 0 i i ? ? ? 件为： 所以正则坐标的初始条 ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t T T Mq u η M u u η q ? ? ， 得 到 ： 左 乘 或 由 0 0 q M u η ? ? T ? ， 0 0 Mq u η T ? ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( 0 0 ) ( 0 n i η η T i i T i i ? ? ? ? ? ? ， ， q M u Mq u ） （ 11 5 . 5 ? 5 ) , 2 , 1 ( ) ( sin ) ( cos ) ( 0 0 n i t t t i i i i i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解： ） （ 6 5 . 5 ? 的 表 达 式 ： 因 此 原 坐 标 的 解 ) ( t q ） （ 12 5 . 5 ? ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( ) ( 2 n i t η t η i i i ? ? ? ? ? ? ? ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( 0 0 ) ( 0 n i η η T i i T i i ? ? ? ? ? ? ， ， 其中 q M u Mq u ） （ 10 5 . 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n i i i i i i i n i i i t t t t t 1 0 0 ) ( 1 ) ( )] ( sin ) ( cos [ ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? u u u η q ? ? ? ? n i i i T i i T i i t t 1 0 ) ( 0 ) ( ) ( ] sin cos [ ? ? ? q M u Mq u u ? 的 响 应 ， 和 初 始 速 度 向 量 位 移 向 量 上 式 表 达 了 系 统 对 初 始 0 0 q q ? 。 个简谐运动叠加而成的 是由 n 6 例 5.5-1 ：求系统的响应 解：系统