数学分析8 282 换元积分法与分部积分法.ppt

后页 前页 § 2 换元积分法与分部积分法 一、换元积分法 二、分部积分法 返回 返回 后页 前页 定理 8.4 ( 第一换元积分法 ) g u ( ) [ , ] ? ? 设 在 上有定义， ? ? ? g u u G u C ( )d ( ) . 且 上可导， 在 又 ] , [ ) ( b a x u ? ? ]. , [ , ) ( b a x x ? ? ? ? ? ? 且 则 ? ? ? ? g x x x g u u ( ( )) ( )d ( )d ? ? C u G ? ? ) ( ? ? ( ( )) . (1) G x C ? 证 ? ? ? d ( ( )) ( ( )) ( ) d G x G x x x ? ? ? 因为 ). ( )) ( ( x x g ? ? ? ? 一、换元积分法 所以 (1) 式成立 . 返回 后页 前页 第一换元积分法亦称为凑微分法 , 即 ? ? ? ? ? ? g x x x g x x G x C ( ( )) ( )d ( ( ))d ( ) ( ( )) , ? ? ? ? ? (1) d d( ); a x ax ? (2) d d( ); x x a ? ? 1 1 (3) d d( ); 1 x x x ? ? ? ? ? ? (4) cos d d(sin ); x x x ? ? ? x x x (5) sin d d( cos ); 1 (6) d d(ln ); x x x ? 2 (7) sec d d(tan ); x x x ? 2 d (8) d(arctan ). 1 x x x ? ? 常见的凑微分形式有 ? ? ( ) ( ). G u g u 其中 返回 后页 前页 例 1 ). 0 ( d 2 2 ? ? ? a x a x 求 解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 d 1 d a x a x a x a x 2 1 d 1 u a u ? ? ? C u a ? ? arctan 1 . arctan 1 C a x a ? ? 返回 后页 前页 例 2 ). 0 ( d 2 2 ? ? ? a a x x 求 解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 d 1 1 1 d 2 x x x a a x a x a 1 d( ) 1 d( ) 2 2 x a x a a x a a x a ? ? ? ? ? ? ? ? | | ln 2 1 | | ln 2 1 a x a a x a ? ? ? ? . ln 2 1 C a x a x a ? ? ? ? 返回 后页 前页 例 3 . d 1 2 x x x ? ? 求 解 ? ? 1 2 2 2 2 1 1 d 1 d( ) 2 x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 2 1 1 d 1 2 x x ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 1 2 1 2 3 x C ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 1 1 . 3 x C ? ? ? ? 返回 后页 前页 解 3 2 sin d sin sin d x x x x x ? ? ? ? ? ? ? 2 (1 cos )dcos x x 3 1 cos cos . 3 x x C ? ? ? ? 例 5 . ln d ? x x x 求 解 d d(ln ) ln ln x x x x x ? ? ? ln ln . x C ? ? 例 4 . d sin 3 ? x x 求 返回 后页 前页 1 1 sin ln . 2 1 sin x C x ? ? ? ? ( 解法二 ) sec (sec tan ) sec d d sec tan x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x tan sec ) tan (sec d . | tan sec | ln C x x ? ? ? 解 ( 解法一 ) ? ? ? 2 d(sin ) 1 sin x x ? sec d x x ? ? 2 cos d cos x x x 例 6 . d sec ? x x 求 返回 后页 前页 定理 8.5 ( 第二换元积分法 ) ( ) [ , ] , g u ? ? 若 在 上有定义 ] , [ ) ( b a x u 在 ? ? 上可导 , ? ? ? ? 1 ( )d ( ( )) .