数学分析2复习多元函数积分.ppt

★ 多元函数积分学 ★ 《数学分析》（ 2 ）复习 （课本 ch19,ch20,ch21,ch22 ） 2. 第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算 3. 第二类曲线积分与第二类曲面积分的计算 1. 二重积分的计算（直角坐标，极坐标），二次积 分交换积分次序，三重积分的计算（直角坐标，柱面坐 标，球面坐标），利用对称性计算重积分 考试要求 4. 利用格林公式计算曲线积分，曲线积分与路径 无关的等价条件，利用高斯公式计算曲面积分 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 ★ 多元函数积分学 基 本 题 型 三、三重积分的计算 五、第二类曲线积分的计算，格林公式 六、第二类曲面积分的计算，高斯公式 重 难 点 二、第一类曲线积分的计算 四、第一类曲面积分的计算 ★ 一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 直角坐标系下二重积分的计算方法是二次积 分法，化二重积分为二次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选定积分次序，定出积分 改变二次积分的次序的步骤： ①根据定限规则作出积分区域的草图 ②按定限规则，改变选定积分次序 : 用极坐标计算二重积分 ?? ?? ? D D d dr r r r f dxdy y x f ? ? ? ) sin , cos ( ) , ( 练习 1. 交换下列二次积分的积分次序： ? ? ? ? ? ? ? x x x y y x f x y y x f x 2 0 2 1 2 0 1 0 d ) , ( d d ) , ( d ) 1 ( 2 ? ? ? ? ? ? y y x y x f y x y x f y 3 0 3 1 2 0 1 0 d ) , ( d d ) , ( d ) 2 ( 2. 计算二重积分： . } 1 ) , {( , ) 3 2 ( ) 2 ( 2 2 2 ? ? ? ? ? ?? y x y x D d y x x D 其中 ? , ) 1 ( 2 ?? ? D dxdy xy y 其中Ｄ是由三直线 0 , 1 , ? ? ? x y x y 围成的平面闭区域 . 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 基本方法： 由积分曲线的表达式求出 弧微分元素 ， 定积分 定限 ：下限小于上限 . 将积分曲线 代入 被积函数， . 化曲线积分为定积分 L ds L ? ? 的长度 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t d z y x t z t y t x f 2 2 2 ) ( , ) ( , ) ( ? L s d z y x f ) , , ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t t z z t y y t x x L ) ( ) ( ) ( : 二、第一类曲线积分的计算 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 , 1 . 3 2 2 2 ds z y x L ? ? ? 计算 ? ? ? ? ? ? ? 1 5 : 2 2 2 z z y x L 练习 1. 已知曲线 Ｌ ： , 2 0 , 2 ? ? ? x x y 则 ? ? L xds ＿＿＿． , . 2 2 2 x a y L ? ? ? 是下半圆周 设 ? ? ? L n s d y x ) ( 2 2 则 ＿＿＿． 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 , xy D xoy 平面投影得投影区域 向 ? ? ?? ??? ? ) , ( ) , ( ) , , ( ) , , ( y x y x D dz z y x f dy dx dv z y x f 2 1 ? ? ? x y O z ) , ( 2 y x z ? ? ) , ( 1 y x z ? ? xy D ? 方法 ——“ 先一后二 ” ( 投影法 ) 再化为三次积分计算 . 三、三重积分的计算 数学分析（ 2 ） —— 多元函数积分学 方法 ? ——“ 先二后一 ” ( 截面法 ) 把积分区域 ? 向某轴（如 z 轴） 投影，得投影区间 [ c , d ] ； ??? ? dxdydz z y x f ) , , ( 于是三重积分化为 ( , , ) d c f x y dxd d z y z ? ? ?? ) ( z D z