数学建模第二次作业(3).docx

数学建模 任意两个城市之间的最廉价路线 参与人员信息 ： 2012 年 6 月 6 日 一、问题提出 某公司在六个城市 C1、C2、C3、 C4、C5、C6中都有分公司，从 Ci 到 Cj 的直达航班票价由下述矩阵的第 i 行、第 j 列元素给出（∞表示无直达航班） ，该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表，试做出这样的表来。 0 50 ∞402510 50 0 15 20 ∞ 25 ∞ 15 0 1020 ∞ 40 20 10 0 10 25 25 ∞2010055 10 25 ∞25550 二 、问题分析 若网络中的每条边都有一个数值 ( 长度、成本、时间等 ) ，则找出两节点 ( 通常是源节点和阱节点 ) 之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一， 可用来解决管路铺设、 线路安装、 厂区布局和设备更新等实际问题。 最短路问题， 我们通常归属为三类： 单源最短路径问题、 确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题———求图中所有的最短路径。 题中要求算出一张任意城市间的最廉价路线表， 属于全局最短路问题， 并且使得该公司总经理能够与各个子公司之间自由往返。（此两点为主要约束条件） Floyd 算法 ，具体原理如下： （ 1） 我们确定本题为全局最短路问题，并采用求距离矩阵的方法 根据路线及票价表建立带权矩阵 W ，并把带权邻接矩阵我 w 作为距离矩阵 ( 0)(0) )v v W 的初始值，即 D( d ij （ 2）求路径矩阵的方法 在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵 R ，R (rij ) v v ，r ij 的含义是从 v i 到 v j 的最短路径要经过点号为 rij 的点。 （ 3）查找最短路径的方法 若 rij ( v ) p1 ，则点 p1 是点 i 到 j 的最短距离的中间点，然后用同样的方法再 分头查找。 三、 模型假设： 各城市间的飞机线路固定不变 各城市间飞机线路的票价不改变 忽略乘客除票价以外的各项开销费用 不考虑雷雨云、低云、大风、雷暴、冰雹等主要天气因素对飞行的影响。 四、 模型建立 建立带权邻接矩阵： 根据飞机路线及票价表建立带权邻接矩阵， 在带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出 6 个矩阵。 采用 floyd 算法步骤为 : D i , j : i 到 j 的最短距离 R i , j ： i 到 j 之间的插入点 输入带权邻接距阵 赋初值：对所有  w i , j , wi , j d i , j , j ri , j , k 1. (2) 更新 D i , j , Ri , j : 对所有 i , j 若 d i , k d k , j d i , j ，则 di ,k d k , jd i , j , k ri , j . (3) 若 k v , 停止；否则 k 1k ，转（ 2）. 运行程序得： D (1) D D  (2) (3)  、 、 D (4) 、 D（5） 、 D（6） ， 使最后得到的矩阵 D ( 6 ) 为飞机的最廉价矩阵。 五、 模型求解结果 根据模型求解，分析得出任意两个城市之间最廉价线路及票价为： C1 →C2: 1 →6→2；35 C1 →C3:1→5→3,1 →6→4→3;45 C1 →C4:1→6→4，1→5→4﹔35 C1 →C5∶1→5﹔25 C1 →C6:1→6﹔10 C2 →C3∶2→3﹔15 C2 →C4∶2→4﹔20 C2 →C5∶2→4→5﹔ 30 C2 →C6∶2→5﹔25 C3 →C4∶3→4﹔10 C3 →C5∶3→5∶3→ 4→ 5﹔ 20 C3 →C6∶3→4→6﹔ 35 C4 →C5∶4→5﹔10 C4 →C6∶4→6﹔25 C5 →C6∶5→4→6﹔ 35