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1 极限存在准则 两个重要极限 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 2 证 , 0 ? ? ? 1. 夹逼准则 准则 Ⅰ ), 3 , 2 , 1 ( ) 1 ( ? ? ? ? n z x y n n n , lim ) 2 ( a y n n ? ? ? , lim a z n n ? ? ? . lim a x n n ? ? ? , a y n ? ? , a z n ? , 0 1 ? ? N , 0 2 ? N 一、极限存在准则 极限存在准则 两个重要极限 } { n x 那末数列 的极限存在 , 且 如果数列 } { } { }, { n n n z y x 及 3 , 1 ? ? ? ? a y N n n 时恒有 当 }, , max{ 2 1 N N N ? 取 恒有 时 当 , N n ? , ? ? ? ? ? ? a y a n 即 , 2 ? ? ? ? a z N n n 时恒有 当 , ? ? ? ? ? ? a z a n n n n z x y ? ? , 成立 即 ? ? ? a x n . lim a x n n ? ? ? ? , ? ? ? a ? ? ? a n n n z x y ? ? ) 1 ( 极限存在准则 两个重要极限 4 例 ). 1 2 1 1 1 ( lim 2 2 2 n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求 解 n n n ? ? ? ? 2 2 1 1 1 ? ? ? ? ? n n n n 2 lim 又 , 1 ? ? ? ? ? 1 lim 2 n n n , 1 ? 由 夹逼定理： . 1 ? 原式 , 1 2 ? ? n n ? ? n n n 2 极限存在准则 两个重要极限 n n 1 1 1 lim ? ? ? 2 1 1 1 lim n n ? ? ? 5 注 利用夹逼准则是求极限的一个重要手段 , 将复杂的函数 f ( x ) 做适当的放大和缩小化简 , 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g ( x ) 和 h ( x ) 即可 . 极限存在准则 两个重要极限 6 x 1 x 2 x 3 x 1 ? n x n x 2. 单调有界准则 满足条件 如果数列 } { n x , 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? n n x x x x 单调增加 , 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? n n x x x x 单调减少 单调数列 准 则 Ⅱ 几何解释 : A M 单调有界 数列必有极限 . : } { n x 对数列 ? 单调有界 有极限 有界 ? ? ? 极限存在准则 两个重要极限 7 例 3 3 3 ? ? ? ? ? n x 证明数列 } { n x ? 3 1 ? x ? , 3 ? k x 假定 k k x x ? ? ? 3 1 3 3 ? ? , 3 ? } { n x ? n n x ? ? ? lim 极限存在 . 证 , 1 n n x x ? ? 显然 (1) 是单调增加的 ; (2) 极限存在准则 两个重要极限 , 3 ? 是有界的 ; 存在 . 8 , 3 1 n n x x ? ? ? ? , 3 2 1 n n x x ? ? ? ? ? ? ? 2 1 lim n n x , 3 2 A A ? ? , 2 13 1 ? ? A ( 舍去 ) . 2 13 1 lim ? ? ? ? ? n n x (3) 3 3 3 ? ? ? ? ? n x 求数列 的极限 . ), 3 ( lim n n x ? ? ? A x n n ? ? ? lim 设 2 13 1 ? ? A 解得 极限存在准则 两个重要极限 9 (1) 1 sin lim 0 ? ? x x x , O 设单位圆 , sin BD x ? 的面积 圆扇形 AOB , x AOB ? ? 圆心角 , AB x 弧 ? , tan AC x ? 的面积 AOC ? ? ? ? 的面积 AOB 极限存在准则 两个重要极限 二、两个重要极限 x O A B D C , tan sin x x x ? ? ? , 1 sin cos ? ? x x x . 2 0 ? ? ? x 10 , 1 sin cos ? ? x x x . 0 2 也成立 对于 ? ? ? x ? , 1