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8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 一、λ-矩阵的初等变换 二、λ-矩阵的初等矩阵 § 8.2 λ─ 矩阵的标准形 三、等价λ-矩阵 四、λ-矩阵的对角化 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 λ ― 矩阵的 初等变换 是指下面三种变换 : ① 矩阵两行(列)互换位置; ② 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ; 是一个多项式 . ( ) ? ? ③ 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 倍, ( ) ? ? 一、 λ -矩阵的初等变换 定义 : 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 代表第 行乘以非零数 c ; [ ( )] i c [ ( ( ) ) ] i j ? ? ? 代表把第 行 ( 列 ) 的 倍加到第 j ( ) ? ? 为了书写的方便,我们采用以下记号 代表 两行 ( 列 ) 互换; [ , ] i j , i j 注: 行 ( 列 ). 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 将单位矩阵进行一次 ― 矩阵的初等变换所得的 ? 矩阵称为 ― 矩阵的 初等矩阵 . ? 二、 λ -矩阵的初等矩阵 定义 : 注: ① 全部初等矩阵有三类: i 行 j 行 1 1 0 1 1 0 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( , ) P i j ? 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 1 1 ( ) ( , ( ( ))) 1 1 p i j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i 行 j 行 1 1 ( ( )) 1 1 p i c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i 行 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 ② 初等矩阵皆可逆 . 1 (, ) (, ) p i j p i j ? ? 1 1 ( () ) ( () ) c p ic p i ? ? 1 ( , ( ( ) ) ) ( , (( ) ) ) p i j p i j ? ? ? ? ? ? ? ③ 对一个 的 ― 矩阵 作一次初等行变换 s n ? ? ( ) A ? 就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩 ( ) A ? s s ? 阵;对 作一次初等列变换就相当于在 的右 ( ) A ? ( ) A ? 边乘上相应的 的初等矩阵 . n n ? 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 为 -矩阵 ,则称 与 等价 . ( ) B ? ( ) B ? ( ) A ? ? ― 矩阵 若能经过一系列初等变换化 ? ( ) A ? 1) ― 矩阵的等价关系具有 : ? 反身性 : 与自身等价 . ( ) A ? 对称性 : 与 等价 与 等价 . ( ) A ? ( ) A ? ( ) B ? ( ) B ? ? 传递性 : 与 等价 , 与 等价 ( ) A ? ( ) B ? ( ) B ? ( ) C ? 与 等价 . ( ) A ? ? ( ) C ? 三、等价 λ -矩阵 定义 : 性质 : 8.2 λ─ 矩阵的标准形 λ─ 矩阵的标准形 2) 与 等价 存在一系列初等矩阵 ( ) A ? ( ) B ? ? 1 1 , S t P P QQ 使 1 1 ( ) ( ) . S t A P P B Q Q ? ? ? 1. (引理) 设 ― 矩阵 的左上角元素 ? ( ) A ? 1 1 ( ) 0 , a ? ? 且 中至少有一个元素不能被它整除,那么一定 ( ) A ? 可以找到一个与 等价的矩阵 ,它的左上 ( ) A ? ( ) B ? 角元素 ,且
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