25平面向量应用举例共22页资料.ppt

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何向量中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 1. 平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 平面几何图像的许多性质如 距离 、 平行 、 三点共 线 、 垂直 、 夹角 等几何问题 充分利用向量这个工具来解决 引言 例 1 ： 平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图， , A C A BA D ? ? , D B A BA D ? ? A B C D 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边 长度之间的关系吗？ 猜想： 矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何 关系？ A B C D ) ( 2 2 2 2 2 AD AB DB AC ? ? ? 结论： 矩形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。 探索： 平行四边形 中，以上关系是否 依然成立？ ABCD 例 1 、证明平行四边形 两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 A B D C 已知：平行四边形 ABCD 。 求证： ) ( 2 2 2 2 2 AD AB BD AC ? ? ? b AD a AB ? ? , 解： 设 ，则 ? ?? ? 2 2 2 2 b a b a DB AC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b b a a b b a a 结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 ) ( 2 2 2 AD AB ? ? 2 2 2 2 ) ( 2 AD AB BD AC ? ? ? 即： （ 1 ）建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为向量问题； 用向量方法解决平面几何问题的一般步骤： 形到向量 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （ 2 ）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角、平行、垂直等问题； （ 3 ）把运算结果“翻译”成几何关系。 向量的运算 向量和数到形 例 2. 如图， ABCD 中，点 E 、 F 分别是 AD 、 DC 边 的中点， BE 、 BF 分别与 AC 交于 R 、 T 两点，你 能发现 AR 、 RT 、 TC 之间的关系吗？ 猜想： AR=RT=TC A B C D E F R T A B C D E F R T 1 1 2 2 ( ) ( ) n a b b m a b ? ? ? ? 因 此 , , , A B a A D b A R r ? ? ? A C a b ? ? 解：设 则 因为 所以 1 1 2 2 ( ) r b ma b ? ? ? A R A E E R ? ? 又因为 共线， 所以设 1 2 ( ) E R m E B m a b ? ? ? E R E B 与 a b 由于 与 共线，所以设 A R A C ( ) , r n ab nR ? ? ? 1 2 E B A B A E a b ? ? ? ? 1 0 2 ( ) ( ) m n m a n b ? ? ? ? ? 即 0 1 0 2 n m m n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a b 不共线， 1 解 得 ： n= m = 3 1 1 1 3 3 3 , , A R A C T C A C R TA C ? ? ? 所 以 同 理 于 是 故 AT=RT=TC A B C D E F R T 1 1 1 3 3 3 , , A R A C T C A C R TA C ? ? ? 所 以 同 理 于 是 1 1 2 2 ( ) ( ) n a b b m a b ? ? ? ? 因 此 练习 : 用 向量方法 证明：直径所对的圆周角为直角。 已知 : 如图， AC 为⊙ O 的一条直径，∠