3解三角形的实际应用举例55页.ppt

2. 某工程中要将一长为 100 m 倾斜角为 75 °的斜坡，改造成 倾斜角为 30 °的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加 长 ( ) (A) (B) (C) (D)200 m 【解析】 选 A. 在△ ABD 中，∠ BAD ＝ 45 °， BD ＝ 故选 A. 1 0 0 2 m 100 3 m 5 0 ( 2 6 ) m ? 2 1 0 0 A Ds i n B A D 2 1 0 0 2 , 1 s i n A B D 2 ? ? ? ? ? 1. 能根据题意建立数学模型，画出示意图 . （重点、难点） 2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量距离、高度、 角度有关的实际问题 .( 重点 ) 二、测量高度问题 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯 角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识， 先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以 解决 . 解三角形实际应用问题的思路 三、测量角度问题 1. 测量角度，首先应明确方向角的含义 . 2. 解决与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如 果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦 定理求得该角的正弦 , 就需要讨论解的情况 . 在实际问题中 , 一般测量哪些角度？ 提示： 一般情况下 , 若测量高度 , 则需测量仰角或俯角 ; 若测量距 离或角度 , 则需测量方向角 . 测量高度问题 1. 测量高度问题的方法 : （ 1 ）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依 条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常 出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系． （ 2 ）测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直 角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决． 2. 俯角和仰角的概念： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 , 目 标视线在水平视线上方叫仰角 , 目标视线在水平视线下方叫俯 角（如图） . 【例 1 】在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ ，沿 BE 方 向前进 30 m 至点 C 处，测得顶端 A 的仰角为 2 θ ，再继续前进 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4 θ ，求 θ 的大小和建筑物 AE 的高 . 1 0 3 【审题指导】 本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关 系定理 , 寻找 BC 、 AC 及 CD 、 AD 之间的关系，再利用正弦定理 和直角三角形的知识求解 ; 也可利用方程思想求解 . 【规范解答】 方法一：（用正弦定理求解）由已知可得， 在△ ABC 中， AC=BC=30 ， 在△ ACD 中， AD=DC= ， ∠ ADC =180 ° -4 θ ， ∴由正弦定理得 因为 sin4 θ =2sin2 θ cos2 θ ∴cos2 θ = , 得 2 θ =30 °， 1 0 3 3 0 . s i n 2 s i n ( 1 8 0 4 ) ? ? ?? ? 3 2 1 0 3 ∴ θ =15 °， ∴在 Rt △ ADE 中， AE=ADsin60 ° =15. 答：所求角 θ 为 15 °，建筑物高度为 15 m. 方法二：（设方程来求解）设 DE= x ， AE=h 在 Rt △ ACE 中 ,( +x) 2 +h 2 =30 2 在 Rt △ ADE 中 ,x 2 +h 2 =( ) 2 两式相减，得 x= ,h=15 ， ∴在 Rt △ ACE 中 ,tan2 θ = ∴ 2 θ =30 ° , θ =15 ° . 答：所求角 θ 为 15 °，建筑物高度为 15 m. 1 0 3 1 0 3 5 3 h 3 3 10 3 x ? ? ， 测量距离问题 1. 求距离问题要注意以下两点 : （ 1 ）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的 三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放 在另一确定三角形中求解 . （ 2 ）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理 . 2. 方向角 : 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通 常表达成：正北或正南，