11 均值不等式的实际应用 课件.ppt

例 1. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m 3 , 深为 3m ，如果池底每 1m 2 的造价为 150 元， 池壁每 1m 2 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总 造价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为 x m ，水池的总造 价为 l 元，根据题意，得 ) 1600 ( 720 240000 x x l ? ? ? x x 1600 2 720 240000 ? ? ? ? . 2976000 , 40 , 1600 有最小值 时 即 当 l x x x ? ? 因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的 总造价最低，最低总造价是 297600 元 . 297 40 2 720 240000 ? ? ? ? ? 评述 : 此题既是不等式性质在实际中的应用，应注 意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不 等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质 的适用条件 . 用均值不等式解决本章引例中此类问题时，应按 如下步骤进行： (1) 先理解题意 , 设变量 , 设变量时一般把要求最大值 或最小值的变量定为函数 ; (2) 建立相应的函数关系式 , 把实际问题抽象为函数 的最大值或最小值问题 ; (3) 在定义域内 , 求出函数的最大值或最小值 ; (4) 正确写出答案 例 1. 甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以 相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两 次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购 10000 片 芯片，乙公司每次购 10000 元 芯片，两次购芯片， 哪家公司平均成本低？请给出证明过程。 分析： 设第一、第二次购芯片的价格分别为每片 a 元和 b 元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不 等式知识论证。 二、讲解范例： 解： 设第一、二次购芯片的价格分别为每片 a 元和 b 元， ? ? ? ? 1 0 0 0 0 \ , 2 0 0 0 0 2 a b a b ? ? ? 那 么 甲 公 司 两 次 购 芯 片 的 平 均 价 格 为 元 片 ? ? , \ 1 1 2 10000 10000 20000 片 元 均价格为 乙公司两次购芯片的平 b a b a ? ? ? ? ? , , , 2 故等号不成立 不相等 由于 b a ab b a ? ? ? ab b a b a 2 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? 又 ab b a ? ? ? 1 1 2 答：乙 公司平均成本较低。 A P B H b a 例 4. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、 下边缘分别在学生的水平视线上方 a 米和 b 米，问 学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？ A P B H b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则学生看黑板的视角为 其中 的夹角分别为 水平视线 下边缘与学生的 黑板上 米 距黑板 设学生 解 , , , , , : BPH APH PH x P , , tan , tan 由此可得 由 x b x a ? ? ? ? ? ? x ab x b a x ab x b x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 tan tan 1 tan tan tan ? ? ? ? ? ? ? ? , tan , , 2 2 最 时 当且仅当 因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ab x ab x ab x x ab x , 为锐角 由于 ? ? ? , 最大 此时 ? ? ? ? . 时看黑板的视角最大 即学生距墙壁 ab 例三 : 一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度运往灾区 , 已知两地的公路 长为 400km , 为了安全起见两辆汽车的间 距不得小于 (v/20) 2 km/h, 那么这批物质 全部云到灾区至少需要多少小时 ? 例四 . 甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到 乙地，速度不得超过 C 千米 / 时，已知汽车每小时的运 输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成： 可变部分与速度 v （千米 / 时）的平方成正比，比例系数 为 b ；固定部分为 a 元， （ 1 ）把全程运输成本 y （元）表示为速度 v （千米 / 时） 的函数，并指出这个函数的定义； （ 2 ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行 驶？