5 3向量的乘法运算10级25页.ppt

第二节 向量的乘法运算 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 一 物 体 在 常 力 F ? 作 用 下 沿 直 线 从 点 1 M 移 动 到 点 2 M ， 以 s ? 表 示 位 移 ， 则 力 F ? 所 作 的 功 为 ? cos | || | s F W ? ? ? ( 其 中 ? 为 F ? 与 s ? 的 夹 角 ) 启示 向 量 a ? 与 b ? 的 数 量 积 为 b a ? ? ? ? cos | || | b a b a ? ? ? ? ? ? ( 其 中 ? 为 a ? 与 b ? 的 夹 角 ) 实例 两向量作这样的运算 , 结果是一个数量 . 定义 一、两向量的数量积 a ? b ? ? ? cos | || | b a b a ? ? ? ? ? ? , Pr cos | | b j b a ? ? ? ? ? , Pr cos | | a j a b ? ? ? ? a j b b a b ? ? ? ? Pr | | ? ? ? . Pr | | b j a a ? ? ? 数量积也称为“ 点积 ”、“ 内积 ” . 关于数量积的说明： . | | ) 1 ( 2 a a a ? ? ? ? ? 0 ) 2 ( ? ? b a ? ? ?? . b a ? ? ? , k a j a i a a z y x ? ? ? ? ? ? ? k b j b i b b z y x ? ? ? ? ? ? ? 设 z z y y x x b a b a b a b a ? ? ? ? ? ? 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 2 2 2 2 2 2 cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? 由此可知两向量垂直的充要条件为 a b ?? 0 ? ? ? z z y y x x b a b a b a 0 a b ? ? ? 数量积符合下列运算规律： （ 1 ）交换律 ： ; a b b a ? ? ? ? ? ? ? （ 2 ）分配律 ： ; ) ( c b c a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 3 ）若 为数 ： ? ) ( ) ( ) ( b a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 、 为数 ： ? ? ) ( ) ( ) ( b a b a ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 例 1 已 知 ) 4 , 1 , 1 ( ? ? a ? ， ) 2 , 2 , 1 ( ? ? b ? ， 求 （ 1 ） b a ? ? ? ； （ 2 ） a ? 与 b ? 的 夹 角 ； （ 3 ） a ? 在 b ? 上 的 投 影 . 2 ( 1 , 1 , 1 ) ,( 2 , 2 , 1 ) ,( 2 , 1 , 2 ) A M B M A B ? 例 ： 已 知 为 空 间 三 点 ， 求。 例 3 证明向量 c ? 与向量 a c b b c a ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ? ? ? 垂直 . 向 量 a ? 与 b ? 的 向 量 积 为 b a c ? ? ? ? ? ? sin | || | | | b a c ? ? ? ? ( 其 中 ? 为 a ? 与 b ? 的 夹 角 ) 定义 c ? 的 方 向 既 垂 直 于 a ? ， 又 垂 直 于 b ? ， 指 向 符 合 右 手 系 . 关于向量积的说明： . 0 ) 1 ( ? ? ? ? ? a a ) 0 sin 0 ( ? ? ? ? ? ? b a ? ? ) 2 ( // ?? . 0 ? ? ? ? ? b a ) 0 , 0 ( ? ? ? ? ? ? b a 向量积也称为“ 叉积 ”、“ 外积 ” . 二、两向量的向量积 向量积符合下列运算规律： （ 1 ） . a b b a ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2 ） 分配律： . ) ( c b c a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 3 ） 若 为数： ? ) ( ) ( ) ( b a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 向量积的坐标表达式 设 , k a j a i a a z y x ? ? ? ? ? ? ? k b j b i b b