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离散型随机变量的数学期望 ——实际背景下决策型问题 长汀一中 卢春丽 2018.6.15 抽样调查，评估预算，作出决策 天气预报 地震预报 是否地震？ 震中位置？ 强度如何？ 理赔与否 作出决策 2 解： ∵钢筋的长度 X ～ N(8 ， 2 ), ∴正态分布在（ μ - 3 σ ， μ + 3 σ ）之外的取值只有 0.003. 而 μ - 3 σ = 2, μ + 3 σ = 14. 又∵钢筋长度小于 2 不在区间（ 2, 14 ）内， 出现了不可能发生的小概率事件， 因此应该让钢筋工停止生产，检修切割机 . 例 1 ：一建筑工地所需钢筋长度 X ～ N(8 ， 2 2 ) ， 质检员在检验一大批钢筋的质量时，发现有的 钢筋长度小于 2m, 这时，他是让钢筋工继续用 切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？ 极大似然法 例题解析： 原则 3 σ 例 2. 某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后 遇到好天气，可得收益 6000 元，如出海后天气变坏 将损失 8000 元，若不出海，无论天气如何都将承担 1000 元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率 为 0.6 ，天气变坏的概率为 0.4 ，请你为该渔船做出 决定，是出海还是不出海？ 例题解析： 出海与否的 依据是什么 ? 例 2. 某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后 遇到好天气，可得收益 6000 元，如出海后天气变坏 将损失 8000 元，若不出海，无论天气如何都将承担 1000 元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率 为 0.6 ，天气变坏的概率为 0.4 ，请你为该渔船做出 决定，是出海还是不出海？ 解：设该船一次出海的收益为 X ，其分布列为 X 6000 -8000 P 0.6 0.4 ∴ EX=6000 × 0.6 ﹣ 8000 × 0.4=400 ． ∴出海的预期收益为 400 元 , 例题解析： 数学期望 - 决策！ 又∵不出海的预期收益为﹣ 1000 元， 400-1000, ∴应作出决策为：出海． 例 3 ．（ 2016 年全国 1 卷 ( 理 )19 题改编） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零 件数发生的概率，记 表示 1 台机器三年内共需更换的易损零件数， X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的 同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求 的分布列； （Ⅱ）求 X 的分布列及使 P （ X ≤ n ）≥ 0.5 ， 确定 n 的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的 期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？ ? ? 例题解析： 20 ( 8) 0.2, 100 P ? ? ? ? 40 ( 9) 0.4, 100 P ? ? ? ? 20 ( 10) 0.2, 100 P ? ? ? ? 20 ( 11) 0.2. 100 P ? ? ? ? 解：（Ⅰ）由已知得 的可能取值为 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， ∴ 的分布列为 ： X 8 9 10 11 P 0.2 0.4 0.2 0.2 ? ? （Ⅱ）由（Ⅰ）知：由已知得 X 的可能取值为 16 ， 17 ， 18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22 ， P(X=16)=(0.2) 2 =0.04, P(X=17)=2 × 0.2 × 0.4=0.16, P(X=18)=(0.4) 2 +2 × (0.2) 2 =0.24, P(X=19)=2 × 0.4 × 0.2+2 × (0.2) 2 =0.24, P(X=20)=(0.2) 2 +2 × 0.4 × 0.2=0.20, P(X=21)=2 × (0.2) 2 =0.08, P(X=22)=(0.2) 2 =0.04 ∴X的分布列为： X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04