141 坐标系和参数方程共40页资料.ppt

第十四编 系列 4 选讲 § 14.1 坐标系与参数方程 要点梳理 1 ．极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O 叫做 ； 自点 O 引一条射线 OX 叫做 ； 再选定一个长度单位、角度单位 ( 通 常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向为正方 向 ) ，这样就建立了一个极坐标系． 基础知识 自主学习 极点 极轴 设 M 是平面上任一点 , 极点 O 与点 M 的距离︱ OM ︱ 叫做点 M 的 ，记为 _____ ；以极轴 OX 为始边， 射线 OM 为终边的∠ xOM 叫做点 M 的 ，记为 ____. 有序数对 ( ρ , θ ) 称为点 M 的极坐标 , 记作 . 2 ．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点 , x 轴 正半轴作为极轴 , 且在两坐标系中取 相同的长度单位 . 设 M 是平面内的 任意一点 , 它的直角坐标、极坐标分 别为 ( x ， y ) 和 ( ρ ， θ ) ，则 ? ? ? ? ? x ＝ ρ cos θ y ＝ ρ sin θ ， ? ? ? ? ? ρ 2 ＝ x 2 ＋ y 2 tan θ ＝ y x ( x ≠ 0) 极径 ρ 极角 θ M ( ρ , θ ) 3 ．直线的极坐标方程 若直线过点 M ( ρ 0 ， θ 0 ) ，且极轴到此直线的角为 α ， 则它的方程为 _________________________ ． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1) 直线过极点： _______ 和 ___________ ； (2) 直线过点 M ( a, 0) 且垂直于极轴： ___________ ； (3) 直线过点 M ( b ， π 2 ) 且平行于极轴： __________. 4 ．圆的极坐标方程 若圆心为 M ( ρ 0 ， θ 0 ) ，半径为 r 的圆方程为 ρ 2 － 2 ρ 0 ρ cos( θ － θ 0 ) ＋ － r 2 ＝ 0. ρ sin( θ － α ) ＝ ρ 0 sin( θ 0 － α ) θ ＝ θ 0 θ ＝ π － θ 0 ρ cos θ ＝ a ρ sin θ ＝ b 2 0 ? 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1) 当圆心位于极点，半径为 r ： ； (2) 当圆心位于 M ( a, 0) ，半径为 a ： ； (3) 当圆心位于 M ( a ， π 2 ) ，半径为 a ： _____________. 5 ．常见曲线的参数方程的一般形式 (1) 经过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) ，倾斜角为 α 的直线的参数方 程为 ? ? ? ? ? x ＝ x 0 ＋ t cos α y ＝ y 0 ＋ t sin α ( t 为参数 ) ． ρ ＝ r ρ ＝ 2 a cos θ ρ ＝ 2 a sin θ . , 0 的数量 表示有向线段 则 是直线上的任一点 设 P P t P (2) 圆的参数方程 ? ? ? ? ? x ＝ r cos θ y ＝ r sin θ ( θ 为参数 ) ． (3) 圆锥曲线的参数方程 椭圆 x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 ＝ 1 的参数方程为 ? ? ? ? ? x ＝ a cos θ y ＝ b sin θ ( θ 为参数 ) ； 双曲线 x 2 a 2 － y 2 b 2 ＝ 1 的参数方程为 ? ? ? ? ? x ＝ a sec φ y ＝ b tan φ ( φ 为参数 ) ； 抛物线 y 2 ＝ 2 px 的参数方程为 ? ? ? ? ? x ＝ 2 pt 2 y ＝ 2 pt ( t 为参数 ) ． 基础自测 1 ．在极坐标系中，与点 ? ? ? ? ? ? 3 ，－ π 3 关于极轴所在直线对 称的点的极坐标为 ( ) A