171 勾股定理11勾股定理1.ppt

这个图形里 到底蕴涵了什 么样博大精深 的知识呢？ 它标志着我 国古代数学 的成就！ 2002 年国际数学家大会会标 第十七章 勾股定理 毕达哥拉斯 ( 公元前 572---- 前 492 年 ), 古希腊著名的哲学家、数学 家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了 A 、 B 、 C 三者面积之间的数量 关系， 进而发现 直角三角形三边的某种数量关系． A B C 我们也来观察右图的地面， 你能发现 A 、 B 、 C 面积 之间 有什么数量关系吗？ S A +S B =S C 每块砖都是等腰直角三角形哦 B A C 图甲 A 的面积 B 的面积 C 的面积 4 4 8 S A +S B =S C C 图甲 1. 观察图甲，小方格 的边长为 1. ⑴正方形 A 、 B 、 C 的 面积各为多少？ ⑵正方形 A 、 B 、 C 的 面积有什么关系？ A B C 图乙 2. 观察图乙，小方格 的边长为 1. ⑴正方形 A 、 B 、 C 的 面积各为多少？ 9 16 25 S A +S B =S C ⑵正方形 A 、 B 、 C 的 面积有什么关系？ 4 4 8 A B C 图甲 图甲 图乙 A 的面积 B 的面积 C 的面积 S A +S B =S C A B 图乙 9 16 25 S A +S B =S C 4 4 8 A B C 图甲 图甲 图乙 A 的面积 B 的面积 C 的面积 a b c a b c C S A +S B =S C . 猜想 a 、 b 、 c 之间的关系？ a 2 +b 2 =c 2 命题 1 ： 如果直角三角形的两直角边长分 别为 a ， b, 斜边长为 c ，那么 a 2 +b 2 =c 2 . a b c 我们猜想： 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？ 光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下 面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家 赵爽 是 怎样证明这个命题的． b a c a b 赵爽拼图证明法： b a c 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 2 2 a b ? 2 c a b a 现在，我们已经证明了命题 1 的正确性，在数学 上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，命题 1 在我国叫做 勾股定理 。 勾股定理： 如果直角三角形两直角 边长分别为 a 、 b, 斜边长为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 即： 直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。 勾 股 勾 股 弦 我国早在三千多年就知道了这个定理 , 人们把弯 曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分 称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直 角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边 称为“弦” . 因此就把这一定理称为 勾股定理 . 辉煌发现 a 2 +b 2 =c 2 a a a a b b b b c c c . a 、 b 、 c 之间的关系 a 2 +b 2 =c 2 ∵ S 大正方形 =(a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab S 大正方形 =4S 直角三角形 + S 小正方形 =4 ab+c 2 =c 2 +2ab ∴ a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab ∴ a 2 +b 2 =c 2 证法一： （毕达哥拉斯证法） 2 1 ? a b c S 大正方形 ＝ c 2 S 小正方形 ＝（ b-a ） 2 S 大正方形 ＝ 4· S 三角形 ＋ S 小正方形 ? a 2 + b 2 = c 2 弦图 证法二： 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 4 b ab a ab c a b ab c ? ? ? ? ? ? ? ? 即： ? 1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。 ? 1881 年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。 证法三： a a b b c c 伽菲尔德证法 : ) b a )( b a ( 2 1 S ? ? ? 梯 形 2 2 1 2 1 2 1 c ab ab S ? ? ? 梯形 ∴ a 2 + b 2 = c 2 《周髀算经》 毕达哥拉斯 商高 数学史话 《勾股圆方图》 ★ 公元前 600 年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名 为“ 毕达哥拉斯定理 ” （ 百牛定理 ） ，而且给出了证明。 ★ 古巴比仑人在公元前 19 世纪也发现此定理。 ★ 定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明 400 多种，由鲁密 斯搜集整理