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2 2d PAGE PAGE # / 25 2 2d PAGE PAGE # / 25 信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性 ? (1) g x f dx x ； (2) g x f x dx; (3) g x f x J (4) g x f h x (5) f exp j2 d 解: (1)线性、平移不变； (2)线性、平移不变； (3) 非线性、 (4)线性、平移不变; 线性、非平移不变。 (5) 平移不变; x 1.2 证明 comb comb(x)exp( j x) 2 comb(x) x 证明：左边=comb — 2 1(x 2n) 右边 comb(x) comb(x) exp( j x) (x n) exp(j x) (x 2n) (x n) (x n n) exp(jn ) (x n) (x n n) (1)n (x n) 当n为奇数时，右边= 0, n为偶数时，右边= (x 2n) 所以当n为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明 (sin x) comb(x) 证明：根据复合函数形式的 3函数公式 n [h(x)] i1 h(xi), h (K) 式中人是h(x)=0的根，h(xj表示h(x)在x Xj处的导数。于 (sin x) (x n) n comb(x) 2 PAGE 2 PAGE # / 25 PAGE PAGE # / 25 1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。 解：设卷积为g(x)。当-K x 0时，如图题1.1(a)所示, 1 x 当0 x 1时，如图题 1 1 1 1 - 1 1 1 3 g(x) (1 x )(1 x )d x 3 2 x 6 1 1 1 3 1 x 0 — x x , 3 2 6 g(x) 1 1 1 3 0 x 1 — x -x , 3 2 6 0, 其它 所示, 1.1(b) 1.5计算下列一维卷积。 (1) (2x 3) rect (2) rect rect (3) comb(x) rect(x) 解：(1) (2x 3) rect 丄 x § rect「 2 2 2 !rect 7 2 2 (2)设卷积为g(x)，当xw 0时，如图题1.2(a)所示, x 2 (a) (b) g(x) 2 图题1.2 g(x) g(x) (3) comb(x) rect(x) 1.6 已知exp( x2 )的傅立叶变换为 (1) exp x2 解：设y x, 由坐标缩放性质 f (ax, by) (1) exp x2 exp( (2) exp x2/2 1.7 ? 2 sinc x cos xdx ? 解：应用广义巴塞伐定理可得 exp( y2/ exp 2)， exp( 试求 2 2 (2) exp x /2 2 y ) exp( a,b得 exo( z2) 、exp( 2) 2) 2 2 y /2 2 exp( 2 2z2 4 sine x dx exp( 2) (1) sin c2 (x)s in c2(x)dx )d 0 1(1 )2d 1 0(1 )2d (2) sin c2(x) cos xdx 1.8应用卷积定理求 f x sin c x sin c 2x的傅里叶变换. 解： sinc(x)sin c(2x) sin c(x) sin c(2x) rect( ) rect — 2 2 2 g时，如图题 1.3(a)所示, G() 1 2du i 1 二时，如图题1.3(b)所示， 1 2 G( ) — 12du 1 2 2 3时，如图题1.3(c)所示, TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 1 3 G( ) 1du 7 \o Current Document 2 2 2G( E )的图形如图题1.3(d)所示，由图可知 G() 1 _3/2 4 1/2 G() 1 _ 3/2 4 1/2 1.9 1.9 设 f x exp x , 0,求 PAGE PAGE # / 25 1.9 1.9 设 f x exp x , 0,求 PAGE PAGE # / 25 解:exp( x)0exp(x)exp( j222 (2 )2exp(1.10设线性平移不变系统的原点响应为函数step x的响应.解：由阶跃函数定义step(x)1,0,f x dx 解: exp( x) 0 exp( x)exp( j2 2 2 (2 )2 exp( 1.10 设线性平移不变系统的原点响应为 函数step x的响应. 解：由阶跃函数定义 step(x) 1, 0, f x dx x)dx x)dx exp o exo(