函数的值域及最值复习优秀课件.ppt

第 5 讲 函数的值域及最值 【学习目标】 理解函数值域与最值的意义；熟练掌握基本初等函 数的值域；掌握求函数的值域和最值的基本方法． 【基础检测】 1 ．设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，有下列三个命题： ①若存在常数 M ，使得对任意 x ∈ R ，有 f ( x ) ≤ M ， 则 M 是函数 f ( x ) 的最大值； ②若存在 x 0 ∈ R ，使得对任意 x ∈ R ，且 x ≠ x 0 ，有 f ( x ) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值； ③若存在 x 0 ∈ R ， 使得对任意 x ∈ R ， 有 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) ， 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值． 这些命题中，正确命题的个数是 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个 C 【解析】 根据最大值的定义，对于 ① M 可能是最大 值，也可能是比最大值还大的数； ②③ 则显然与最大值 的定义是一致的，因此是正确的． 2 ．函数 y ＝ x 2 － 2 x 的定义域是 {0 ， 1 ， 2} ，则该函 数的值域为 ( ) A ． { － 1 ， 0} B ． {0 ， 1 ， 2} C ． { y | － 1 ≤ y ≤ 0} D ． { y |0 ≤ y ≤ 2} A 【解析】 当 x ＝ 0 时， y ＝ 0 ；当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1 ； 当 x ＝ 2 时， y ＝ 0. 故值域为 { － 1 ， 0} ． 3 ．下列函数中，值域是 (0 ，＋∞ ) 的函数是 ( ) A ． y ＝ lg x B ． y ＝ ? ? ? ? ? ? 1 3 1 － x C ． y ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? x － 1 x D ． y ＝ 1 － 2 x B 【解析】 y ＝ ? ? ? ? ? ? 1 3 1 － x ＝ 3 x － 1 ＝ 1 3 · 3 x 0 ，即 y ＝ ? ? ? ? ? ? 1 3 1 － x 的值域为 (0 ，＋ ∞ ) ，其他都不符合． 4 ．函数 f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 6 ， x ∈ [1 ， 5) 的值域是 _ ． [2 ， 11) 【知识要点】 1 ． 函数的值域 函数的值域是 的集合，记为 { y | y ＝ f ( x ) ， x ∈ A } ，其中 A 为 f ( x ) 的定义域． 2 ． 常见函数的值域 (1) 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) 的值域为 ____ ． (2) 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，当 a ＞ 0 时，值 域为 ； 当 a ＜ 0 时， 值域为 ． (3) 反比例函数 y ＝ k x ( k ≠ 0) 的值域为 ． (4) 指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 的值域为 ． 函数值 R ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) (0 ，＋ ∞ ) ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ac － b 2 4 a ，＋∞ ? ? ? ? ? ? ? ? －∞， 4 ac － b 2 4 a (5) 对数函数 y ＝ log a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 的值域为 ． (6) 正、 余弦函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的值域为 ； 正切函数的值域为 ． 3 ． 函数的最值 一般地，设函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 I ，如果存在实 数 M ： (1) ? x ∈ I ， f ( x ) ≤ M ； (2) ? x 0 ∈ I ， f ( x 0 ) ＝ M ， 则称 M 为 f ( x ) 的