一元二次方程中蕴含的几种思想方法.docVIP

一元二次方程中蕴含的几种思想方法 　　一、降次法 　　降次法是把高次方程转化为低次方程的基本方法，解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一元一次方程来解. 　　例1　一元二次方程的根是（　　） 　　Ａ．　　　　　　　Ｂ． 　　Ｃ．　　Ｄ． 　　分析：把原方程化为x（x-3）=0的形式，就可降次为一元一次方程x=0或x-3=0,问题迎刃而解. 答案为Ｄ. 　　二、配方法 　　配方法是本章的一个难点，配方的目的是使方程的一边变成完全平方式，其根据是乘法公式a2±2ab+ b2=(a±b)2.其步骤是： 　　1.二次项系数化为1，并把常数移到方程的右边； 　　2.在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边能配成一个完全平方式； 　　3.当方程右边的常数为非负数时，方程有解，这时用直接开平方法求解；当方程右边的常数为负数时，方程无解。 　　例2　用配方法解方程：． 　　解：两边都除以2，得（二次项系数化为1） 　　移项，得（把常数移到方程的右边） 　　配方，得（在方程的两边都加上一次项系数一半的平方） 　　即 　　或（直接开平方法） 　　，． 　　三、换元法 　　换元法的基本思路是通过设辅助未知数，使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程. 　　例3　用换元法解方程，设，则原方程可化为（　　）． 　　A．　　B．　　C．　　D． 　　分析：若把原方程展开再解，项数增加、次数增高，解答起来会很复杂，设，通过换元将原方程化为整式方程再解，方便多了. 故选A. 　　四、转化思想 　　解方程的过程就是不断的通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程.在本章，转化无处不在，一元二次方程转化为一元一次方程来解；特殊转化为一般，一般转化为特殊，例如通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的方法，进而得出一元二次方程的求根公式；将分式方程转化为整式方程；把实际问题转化为一元二次方程问题，等等. 　　例4　经计算整式与的积为．则一元二次方程的所有根是（　　） 　　Ａ．，　　　　　　Ｂ．， 　　Ｃ．，　　　　　　　Ｄ．， 　　分析：通过已知可把转化为（）（）=0，从而有=0或=0 ，解得，，故选Ｂ. 　　五、类比思想 　　要注意新旧知识的联系，把新旧知识进行类比，如用直接开平方法解一元二次方程时，可类比平方根的概念和意义；解可化为一元二次方程的分式方程时，可类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤等. 　　例5　先阅读，再填空解题： 　　（1）方程的根是，，则，； 　　（2）方程的根是，，则，； 　　（3）方程的根是 ， ． 　　则 ， ； 　　根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于的一元二次方程（，且为常数）的两个实数根是，那么，与系数有什么关系？请写出你的猜想并说明理由． 分析：由求根公式可得，计算就有． 由数到式，类比猜想可得：．理由如下： 　　一元二次方程（，且为常数）的两实数根是 　　． 　　， 　　． 　　， ．