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知识要点
一 概念：
1 随机事件：用等表示
互不相容：
互逆： 且 ，此时，
互逆 互不相容 ，反之不行
相互独立： 或
2 随机事件的运算律：
(1) 交换律 ：
(2) 结合律 ：
(3) 分配律 ：
(4 ) De Morgen 律（对偶律）
推广：
3 随机事件的概率：
有界性
若 则
条件概率
4 随机变量： 用大写表示 .
若与相互独立的充分必要条件是
若与是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是
若与是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是
若与不相关，则 或
独立不相关 反之不成立
但当与服从正态分布时 ，则相互独立 不相关
相关系数： 且当且仅当时，并且
二 两种概率模型
古典概型 ： 所包含的基本事件的个数 ；总的基本事件的个数
伯努利概型 ： 次独立试验序列中事件恰好发生次的概率
次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率
次独立试验序列中事件至少发生次的概率
特别的 ，至少发生一次的概率
三 概率的计算公式：
加法公式：
若互不相容 ,则
推论：
推广：
若，互不相容，则
乘法公式：或
若相互独立 ，
推广：
若它们相互独立，则
全概率公式：若 为随机事件，互不相容的完备事件组，且
则
注： 常用作为互不相容的完备事件组
有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概率问题.
用全概率公式解题的程序：
判断所求解的问题 是否为全概率问题
若是全概率类型，正确的假设事件及 ，要求是互斥的完备事件组
计算出
代入公式计算结果
四 一维随机变量：
1 分布函数：
性质：（1）
若 ，则
若是离散随机变量，则是右连续的
若是连续随机变量，则是连续的
（有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数）
（4） 即
即 （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）
利用分布函数计算概率：
一维离散随机变量：
概率函数： （分布律）
性质：
（此性质常用来确定概率函数中的常数）
已知概率函数求分布函数
一维连续随机变量：
概率密度
性质：
（1） 非负性
（2）归一性： （常用此性质来确定概率密度中的常数）
分布函数和概率密度的关系：
（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）
利用概率密度求概率
五 一维随机变量函数的分布：
离散情形 ： 列表 、整理、合并
连续情形： 分布函数法. 先求的分布函数 ，再求导
六 二维随机变量：
联合分布函数 ：
性质：
（1） （2）
（3） （4）
（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）
边缘分布函数：
二维离散随机变量：
联合概率函数 列表
边缘概率函数：
二维连续随机变量： 联合概率密度
性质 （1）
（2）（常用此性质来确定概率密度中的常数）
联合分布函数与联合概率密度的关系
（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）
利用联合概率密度求概率
已知联合概率密度求边缘概率密度
（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）
二维随机变量函数的分布
1 离散情形
2 连续情形：
七 随机变量的数字特征：
若为离散随机变量：
若为连续随机变量：
二维情形 若为二维连续随机变量，则
若为二维离散随机变量，则
随机变量的函数的数学期望：
若为离散随机变量：
若为连续随机变量
方差：定义
方差的计算公式：
注意这个公式的转化：
协方差：，相关系数
关于期望的定理： 关于方差的定理
（1） （1）
（2） （2）
（3） 相互独立：
（注意：反之不成立）
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