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§ 4.1 向量组及其线性组合 主要内容： 一、 n 维向量的定义 二、向量组的定义 三、向量组的线性组合 四、向量组等价 五、向量组的线性表示 § 1 向量组及其线性组合 定义 : n 个有次序的数 a 1 , a 2 , … , a n 所组成 的数组称为 n 维向量 , 这 n 个数称为该向 量的 n 个分量 , 第 i 个数称为 第 i 个分量 . 例 n 维向量 ( 1 , 2 , , ) n ? ???????????????? ? ????????????????? ? 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 １ 个 分 量 第 2 个 分 量 第 n 个 分 量 § 1 向量组及其线性组合 定义 : 给定向量组 A : a 1 , a 2 , … , a m , 对于任何一组实数 k 1 , k 2 , … , k m , 表达式 k 1 a 1 + k 2 a 2 + … + k m a m 称为向量组的一个 线性组合 , k 1 , k 2 , … , k m 称为这个线性组 合的 系数 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 0 : , , , 1 2 0 1 1 1 1 0 2 3 2 3 1 2 0 1 A a a a a A a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 向 量 组 向 量 组 的 一 个 线 性 组 合 ： 例 § 1 向量组及其线性组合 定义 : 给定向量组 A : a 1 , a 2 , … , a m , 和向量 b , 如果存在 一组数 λ 1 , λ 2 , … , λ m , 使 b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + … + λ m a m , 则向量 b 是向量组 A 的线性组合 , 这时称 向量 b 能由向量组 A 线性表示 . 注意 : 向量 b 能由向量组 A 线性表示 , 也就是方程组 b =x 1 a 1 + x 2 a 2 + … + x m a m 有解 . § 1 向量组及其线性组合 向量 b 能由向量组 A 线性表示 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 0 6 : , , , , 1 2 0 1 7 2 3 Aa a a a b a a a a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 1 2 4 6 2 7 x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 方程组 有解 . 例 1 1 2 2 3 3 4 4 b x ax ax ax a ? ? ? ? § 1 向量组及其线性组合 定理 向量 b 能由向量组 A:a 1 , a 2 , … , a m 线 性表示的 充分必要条件 是 矩阵 A =( a 1 , a 2 , … , a m ) 的秩等于矩阵 B =( a 1 , a 2 , … , a m , b ) 的秩 . § 1 向量组及其线性组合 例 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 0 6 , , , , 1 2 0 1 7 2 3 1 1 1 0 ( ) ( , , , ) 2, 1 2 0 1 1 1 1 0 6 ( ) ( , , , , ) 2. 1 2 0 1 7 a a a a b a a a a b R A R a a a a R R B R a a a a b R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?