张量定义及 其代数运算.docxVIP

必威体育精装版整理资料 文档精选合集 张量定义及其代数运算 谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 知识要素 多重线性函数 定义 1.1 (多重线性函数, 张量). 映照 Φ : Rm × · · · × Rm ? {u1, · · · , up} ?→ Φ(u1, · · · , up) ∈ R 满足对第 i 变量的线性性, 即 Φ(u1, · · · , αu?i + βu?i, · · · , up) = αΦ(u1, · · · , u?i, · · · , up) + βΦ(u1, · · · , u?i, · · · , up) ∈ R. 如果 Φ 满足对其所有变量的线性性, 则称 Φ 为p 重线性函数, 或者称为p 阶张量 . 记 p 阶张量的全体为 T p(Rm), Rm 为底空间. 定义 1.2 (张量线性空间). 可对 p 阶张量空间 T p(Rm) 引入线性结构: 加法 (Φ + Ψ)(u1, · · · , up) ? Φ(u1, · · · , up) + Ψ(u1, · · · , up), ? Φ, Ψ ∈ T p(Rm); 数乘 (αΦ)(u1, · · · , up) ? αΦ(u1, · · · , up), ? α ∈ R. 由此, T p(Rm) 成为线性空间. 定义 1.3 (简单张量). 设有 ? ξ, η, ζ ∈ Rm, 如下映照: ξ ? η ? ζ : Rm × Rm × Rm ? {u, v, w} ?→ ξ ? η ? ζ(u, v, w) ? (ξ, u)Rm (η, v)Rm (ζ, w)Rm 称为简单张量. 按内积的线性性, 易见函数 ξ ? η ? ζ 对其第二变量具有线性性: ξ ? η ? ζ(u, αv? + βv?, w) ? (ξ, u)Rm (η, αv? + βv?)Rm (ζ, w)Rm = αξ ? η ? ζ(u, v?, w) + βξ ? η ? ζ(u, v?, w), ? α, β ∈ R. 类似可得, ξ ? η ? ζ 对其所有变量具有线性性, 亦即有 ξ ? η ? ζ ∈ T 3(Rm). 上述定义自然可推 广至由有限个矢量所构成的简单张量. 对于简单张量, 具有如下代数性质. 必威体育精装版整理资料 性质 1.1 (简单张量线性性质). 以三阶简单张量为例, 可有: 3 mξ ? (αη? + βη?) ? ζ = αξ ? η? ? ζ + βξ ? η? ? ζ ∈ T (R ), ? α, β ∈ 3 m 证明 对 ? u, v, w ∈ Rm, 计算 ξ ? (αη? + βη?) ? ζ(u, v, w) = (ξ, u)Rm (αη? + βη?, v)Rm (ζ, w)Rm = α (ξ, u)Rm (η?, v)Rm (ζ, w)Rm + β (ξ, u)Rm (η?, v)Rm (ζ, w)Rm = αξ ? η? ? ζ(u, v, w) + βξ ? η? ? ζ(u, v, w) = (αξ ? η? ? ζ + βξ ? η? ? ζ)(u, v, w). 易见, 对构成简单张量的各个矢量都具有上述线性性. 对偶基与矢量的表示 本节引入对偶基, 可说明有限维 Euclid 空间中的任意一个基唯一确定其对偶基. 由此, 任意一个矢量既可由原有的基表示, 亦可由其对偶基表示. 进一步, 由于原有的基确定其对偶基, 则一个矢量相对于原有的基及其对偶基的分量之间必然存在关联. i=1定理 1.2 (对偶基的存在唯一性). 设 {gi} i=1 为 Rm 空间的一组基, 则必然唯一存在另外一 i=1组基 {gi}m , 满足 i=1 (gi, gj)R = δ . j m i m i m i m i 用矩阵运算可以表示为 ?gT ? ( ) 1?? ... ?? 1 m m g1 · · · gm = Im ∈ Rm×m, 式中 Im 为 m 阶单位矩阵. ?gT ? i=1证明 因为 {gi} i=1 是 Rm 空间的一组基, 所以有 1?gT ? ( ) 1 ... ? det ?? ? = det g1 · · · gm m m ?= 0. 按线性代数的结论, 即有 ?gT ? ?gT ??1 ?gT ??1 1 1 1 1 (g1 · · · gm) = ?? ... ?? m m Im = ?? ... ?? m m ∈ Rm×m, ?gT ? ?gT ? i=1i=1即 {gi}m i=1 i=1 与其对偶基 {gi}m 是一一对应的, 因此对偶基是存在且唯一存在的. 文档精选合集 i=1i=1