11.3协方差和相关系数.ppt

性质 * § 4.4 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 § 4.4 称 为 X ,Y 的协方差. 记为 特别地,cov(X,X)=D(X), cov(Y,Y)=D(Y), 所以方差是协方差的特例. 协方差和相关系数的定义 定义 定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 若 称 X ,Y 不相关. 协方差的性质 协方差和相关系数的性质 协方差和相关系数的计算 一般地， 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 相关系数的性质 系性质 如果 X,Y 相互独立，则 从而 定义3.2 若随机变量X与Y的相关系数 则称X与Y不相关. X与Y相互独立 X与Y不相关 例 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而Y=cos X, 因而 =0， 即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系， 即X和Y不独立 . 不难求得， Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0， E(X)=0, X , Y 不相关 Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为 a,b 为常数. 设 ( X ,Y ) ~ N ( ?1,?12;?2,?22 ; ?), 求?XY 例 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 例1 例2 设( X,Y )的联合密度函数为 求 E(X), E(Y), D(X), D(Y) , cov (X ,Y ), ?XY D(5X-3Y) 解 * *