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§ 2.3等差数列的前n项和
授课类型:新授课 (第i课时)
一、 教学目标
知识与技能:掌握等差数列前n项和公式;会用等差数列的前 n项和公式解决问题。
过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律; 通过公式推导的过程教学,扩展学生思维。
情感态度与价值观: 通过公式的推导过程,使学生体会数学中的对称美,促进学生的逻辑思维。
二、 教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应用
三、 教学难点
灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题
四、 教学过程
1、 课题导入
小故事”:高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时 ,有一次老师出了一道题目,老师说:现在给大家
出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在:1+2=3; 3+3=6; 4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:
“1+2+3+…+100=5050。”
教师问:“你是如何算出答案的?
高斯回答说:因为1 + 100=101;
2+99=101;…50+51=101,所以
101X 50=5050”
这个故事告诉我们:
(1 )作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。
(2)该故事还告诉我们求等差数列前 n项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相
加”法。
2、 讲授新课
(1)等差数列的前
n项和公式1:
Sn
n(a1
an)
证明:
Sn
a1
a2
a3
an 1
an
①
Sn
an
an 1
an 2
a2
a1
②
①+②
:2Sn
(印
an)
(a? a
n 1 )
(a3
an 2)
(an an)
t a1
an
a2
an 1 a3
an
2
2Sn
n(a1
an)
由此得:
Sn
an)
2
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从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
(2)等差数列的前n
(2)等差数列的前n项和公式2: Sn
naj
n(n 1)d
2
用上述公式要求 Sn必须具备三个条件:n,ai,an
但an
但an ai (n i)d 代入公式i即得:
Sn nai
n(n i)d
2
此公式要求Sn必须已知三个条件: n, ai,d
3、例题讲解:
课本P43的例i
例2:已知一个等差数列 an的前iO项和是3i0,前20项和是i220,由这些条件能确定这个数列的前 n
项和公式吗?
解:由题意知:So 3i0, S20 i220
将它们代入公式§ n^ n(n i)d
2
得到方程组, iOa, 45d 3i0
20ai i90d i220
解这个方程组得到:ai 4,d 6
所以 Sn 3n2 n
2 i
例3:已知数列 an的前n项和为Sn n2 n,求这个数列的通项公式?这个数列是等差数列吗?如果是,
2
写出它的首项和公差
解:根
艮据Sn
a? L
an 与 Sn
i ai
a2
L an i
可知,
当n
i 时,an Sn
Sn i
2
n n
2
(n
2
i) -(n
2
i)
1
2n —
2
当n
i时,
ai Si -,
2
所以
an的
通项公式为an
2n丄
,首项为
3
公差为2
2
2
由例
3得与
an之间的关系:
由Sn 1
的定义可知,当
n=i 时,
Si = ai ;
当
n 2 时,an =
=Sn -
■ Sn i ,
即 an? i)
Sn Sn i (n 2)
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4、课堂练习
课本P45练习1、2、3
练习①:根据题中条件,求相应的等差数列的前 n项和表达式
印 4, Os 18, n 8
解:由于a1
4, a8
18,
所以d
Oi
代入前
S8 8
08
7
n项和表达式中:
(4) 8(8 1)
(2) 88
练习②:
解:根据Sn
可知,当n
an
的前n项和为Sn
n
4
a2
L
an 与 Sn 1 a1
a2
an
Sn
Sn 1丄门?
2 n
已知数列
Oi
1时,
3
4
3n 3,求这个数列的通项公式
an 1
14(n 1)2
4
2(n 1) 3 - n 卫
3 2 12
当n 1时,
11
0徨
an的通项公式为a
47
12
5
12
1
n,
2
练习③:求集合M
2n 1, n
60的元素个数,并求这些元素的和
解:由题意知
m 2n 1 60
n 30.5
所以,元素个数为30个
所以,元素个数为30个
30(30 1)
S30 30 1
900
5、课时小结
本节课学习了以下内容:
1.等差数列的前n项和公式1: Sn
n? an)
2
n(n 1)d
n(n 1)d
2
2.等差数列的前n项和公式2: Sn na1
v.课后作业
课
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