二项分布及Posson分布.ppt

第二节 Poisson 分布 （ Poisson distribution ） 一、 Poisson 分布的概念 Poisson 分布最早是由法国数学家 Sim é on- Denis Poisson ( 西莫恩 · 德尼 · 泊松 ) 研究二项 分布的渐近公式是时提出来的。 地震 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公 用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的 . 例 如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼 唤次数等 , 都服从泊松分布 . 火山爆发 特大洪水 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 在生物学、医学、工业统计、保险科学 及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常 见的 . 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换 台的电话呼唤次数等 , 都服从泊松分布 . Poisson 分布作为二项分布的一种极限分布， 已发展成为描述小概率事件发生规律的一种重 要分布。常用于研究单位时间或单位空间内某 罕见事件发生次数的分布。 常见的 Poisson 分布现象有：每滴海水中浮 游生物数量的分布；用显微镜观察片子上每一 格子上细菌繁殖数的分布；某些野生生物或昆 虫数在单位空间中的分布；某种患病率或死亡 率很低的非传染性疾病的患病人数或死亡人数 的分布等。 如果随机变量 X 的取值为 0 ， 1 ， 2 ， … ，且其 取值为 X 的概率为 则称 X 服从 Poisson 分布，记作 X ~ P ( λ ) 。 一般 X 为单位度量中研究事件的发生数，也称样 本计数或样本均数 , λ 为总体均数， λ = nπ 1 。 Poisson 分布的定义 ( ) ! ? ? ? ? X P X e X ( ) ! k P X k e k ? ? ? ? ? Poisson 分布 的概率函数式 0 ( ) 1 X P X ? ? ? ? 可以证明总有： 2 。服从 Poisson 分布的条件 在规定的单位度量中某事件（阳性事件）发生次 数为 X ，则 X 满足下列条件时， X 服从 Poisson 分布。 ① 普通性 在充分小的观测单位上 X 的取值最多为 1 ② 平稳性 X 的取值只与观测单位的大小有关，而与 观测单位的位置无关 ③ 独立增量性 在某个观测单位上 X 的取值与其他各 观测单位上 X 的取值无关 3 。 Poisson 分布的性质与图形 （ 1 ） Poisson 分布的图形 Poisson 分布的图形与 λ 有关。 λ 越小，分布就 越偏；随着 λ 增大，分布趋于对称，并且渐近正态 分布。 当 λ ≤1时，随 X 的取值变大， P ( X ) 值反而变小； 当 λ 1 时，随 X 的取值变大， P ( X ) 值先增大后变小。 若 λ 是整数，则 P ( X ) 在 X = λ 和 X = λ -1 处取最大值。 二项分布及 Poisson 分布 随机变量分为连续型和离散型，相应的概 率分布就分为连续型概率分布和离散型概率 分布。 连续型概率分布：正态分布、 t 分布、 F 分布 离散型概率分布：二项分布、 Poisson 分布 第一节 二项分布 （ binomial distribution ） 一、二项分布的概念 二项分布是指在只会产生两种可能结果 （阳性或阴性）之一的 n 次独立重复试验中， 当每次试验的“阳性”结果概率 π 保持不变时， 出现某一结果（如阳性结果）的次数的一种概 率分布。 在医学卫生领域中，服从二项分布的试验 较常见：某种药物治疗某种非传染性疾病，疗 效分为有效与无效；动物的急性毒性试验中， 观测动物的死亡与存活；接触某种病毒性疾病 的传播媒介后，出现感染与非感染等。 如果随机变量 X 的取值为 0 ， 1 ， 2 ， … ， n ，且 其取值为 k 的概率为 则称 X 服从二项分布，记作 X ~ Β ( n , π ) 。 其中 π 为随机事件发生的概率， n 为试验次数 1 。二项分布的定义 k n k k n C k X P ? ? ? ? ) 1 ( ) ( ? ? k n k k n C k X P ? ? ? ? ) 1 ( ) ( ? ? 二项分布的 概率函数式 该函数式是二项函数 [ π + （ 1- π ） ] n 的通项 且有： 0 ( ) 1 n X P X ? ? ? 2 。二项分布的适用条件 若试验符合下面 3 个