6.3 线性方程组应用举例0217.pdf

专题六 数值微积分与方程求解 6.3 线性方程组应用举例  平面桁架结构受力分析问题  小行星运行轨道计算问题 1．平面桁架结构受力分析问题 桁架是工程中常用的一种结构，各构件在同一平面内的桁架称为平面桁架。 一个平面桁架结构由连接于A、B、C、D、E、F、G、H共8个结点的13根杆件 构成。在结点B、E和G上施加指定载荷，求桁架每根杆件上的轴力。 对于静态平衡的衍架而言，它的各个结点也一定是平衡的，即在任何结点上 水平方向或垂直方向受力之和都必须为零。因此，可以对每一个结点列出两 个独立的平衡方程，从而可求出杆件的轴力。对于8个结点，可以列出16个方 程，方程数多于待定的13个未知量。为使该衍架静定，即为使问题存在唯一 解，我们假定：结点A在水平和垂直方向上刚性固定，而结点H仅在垂直方向 刚性固定。 以结点E为例,其受力如图所示,写出平衡方程，有： 水平方向：ƒ cos45°+ƒ = ƒ cos45°+ƒ 垂直方向：ƒ sin45°+ƒ +ƒ sin45°=15 定义参数 = /，则可得到E点的平衡方程。 ƒ +ƒ = ƒ +ƒ ƒ +ƒ +ƒ =15 结点B：ƒ =ƒ ƒ =10 结点C：ƒ =ƒ+ƒ ƒ +ƒ +ƒ =0  结点H在垂直方向刚性固定，只有水平方向 结点D：ƒ=ƒ 平衡方程。 ƒ =0 结点E：ƒ +ƒ =ƒ +ƒ  这是一个包含13个未知数的线性方程组， ƒ +ƒ +ƒ =15 利用MATLAB很容易求出杆件轴力向量ƒ 。 结点F：ƒ =ƒ ƒ =20 结点G：ƒ +ƒ = ƒ ƒ +ƒ +ƒ =0 结点H：ƒ +ƒ =0 alpha=sqrt(2)/2; A=[0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; alpha,0,0,-1,-alpha,0,0,0,0,0,0,0,0; alpha,0,1,0,alpha,0,0,0,0,0,0,0,0; 桁架杆件主要承受轴向拉力或压力，当杆 0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0; 件受拉时，轴力为拉力，其指向背离截面； 0,0,0,0,alpha,1,0,0,-alpha,-1,0,0,0; 0,0,0,0,alpha,0,1,0,alpha,0,0,0,0; 当杆件受压时，轴力为压力，其指向指向 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0; 截面。答案中的正数表示拉力，负数表示 0,0,0,0,0,0,0,1,alpha,0,0,-alpha,0; 压力。 0,0,0,0,0,0,0,0,alpha,0,1,alpha,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,alpha,1]; b=[0;10;0;0;0;0;0;15;0;20;0;0;0]; f=A\b; disp(f) -28.2843 20.0000 10.0000 -30.0000 14.1421 20.0000 0 -30.0000 7.0711 25.0000 20.0000 -35.3553 25.0000 2 ．小行星运行轨道计算问题 现在已经在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，测得轨道上的5个点 的坐标数据如表所示，其单位为天文测量单位。试确定小行星的轨道方程。 i 1 2 3 4 5 xi 1.02