北航工科数学分析杨小远收敛数列性质.ppt

§ 1.2 收敛数列的性质 定理 2.1 ( 唯一性 ) 若数列收敛 , 则其极限唯一 . 证明 , lim , lim b x a x n n n n ? ? ? ? ? ? 又 设 由定义 , 1 2 0, , N N N N ? ? ? ? ? ? ? ? , 使得 1 1 , : , n N n N x a ? ? ? ? ? 2 2 , : n N n N x b ? ? ? ? ? ? 一、 收敛数列的基本性质 ? ? , , max 2 1 N N N ? 取 时有 则当 N n ? ) ( ) ( a x b x b a n n ? ? ? ? ? . 2 ? ? ? ? ? ? a x b x n n . 时才能成立 上式仅当 b a ? 故极限唯一 . 收敛数列性质 相应的 , 可以给出有界和有 下界 的定义 定义 2.1 ( 数列有界的定义 ) 若存在一个实数 M ，对数列所有的项都满足 , ， 对数列 } { n a ? , 3 , 2 , 1 , ? ? n M a n . } { 的上界 是 则称 n a M 一个数列即有上界又有下界 , 则称为 有界数列 . 定理 2.2 ( 有界性 ) 收敛，则必有界。 若数列 } { n a 收敛数列性质 ; , N, , , lim 1 o ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n a N n a a a 有 时 当 则 且 设 ; , N , , lim , lim 2 n n n n n n o b a N n b a b b a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有 时 当 则 且 设 . , , N, , lim , lim 3 b a b a N n b b a a n n n n n n o ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则有 有 时 当 若 设 数列极限的保序性） ( 定理 2.3 收敛数列性质 ? ? ? ? ? ? ? ? ? | | , , , 2 ) 1 ( 1 1 a a N n N a n 当 取 ; 2 ? ? ? ? ? ? ? ? a a a n 即 , , , , 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? n a N n N a 当 同理，取 . , }, , max{ 2 1 ? ? ? ? ? ? n a N n N N N 当 取 证明 收敛数列性质 则 令 , 2 ) 2 ( a b ? ? ? . 2 , | | , , 1 1 b a a a a a N n N n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 时 当 . 2 , | | , , 2 2 b a b b b b N n N n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 时 当 . , }, , max{ 2 1 n n b a N n N N N ? ? ? 由上得 当 取 . ) 2 ( ) 3 ( 可得 用反证法由 注 . , ) 3 ( b a b a n n ? ? 也可有 中即使有 收敛数列性质 定理 2.4 二、 极限的四则运算 则 设 , lim , lim b b a a n n n n ? ? ? ? ? ? ; ] [ lim ) 1 ( b a b a n n n ? ? ? ? ? ; ] [ lim ) 2 ( b a b a n n n ? ? ? ? ? . 0 , lim ) 3 ( ? ? ? ? b b a b a n n n 其中 极限的四则运算 证 ; ) 1 ( 得 绝对值的三角不等式可 由 | | | | ) 2 ( ab ab ab b a ab b a n n n n n n ? ? ? ? ? . | || | | || | b b a b a a n n n ? ? ? ? 和 有界 收敛，可得 ， 由 M b b b a n n n n ? | | , 1 1 0, , :| | , 2( 1) n N n N a a M ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , :| | , 2( 1) n N n N b b a ? ? ? ? ? ? . | | , }, , max{ 2 1 ? ? ? ? ? ab b a N n N N N n n 得 当 取 极限的四则运算 b b n n 1 1 lim ) 3 ( ? ? ? 先证 , . , , 0 1 1 2 | | 时 当 对于 N n t s N b ? ? ? , 2 | | | | b b b n ? ?