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1.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,∠EAF=45°,连结EF,求证:DE+BF=EF.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2),此时GF即是DE+BF.请回答:在图2中,∠GAF的度数是 .
参考小伟得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(AD>BC),∠D=90°,AD=CD=10,E是CD上一点,若∠BAE=45°,
DE=4,则BE= .
(2)如图4,在平面直角坐标系xOy中,点B是x轴上一动点,且点A(,2),连结AB和AO,并以AB为边向上作正方形ABCD,若C(x,y),试用含x的代数式表示y,则y= .
2.如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(0,3),以O为圆心,OA为半径作圆,该圆与坐标轴分别交于A、B、C、D四点,弦AF交半径OB于点E,过点F作⊙O的切线分别交x轴、y轴于P、Q两点.(1)求证:PE=PF;(2)若∠FAQ=30°,求直线PQ的函数表达式;(3)在(2)的前提下,动点M从点A出发,以单位长度/s的速度沿弧向终点F运动(如图2),设运动时间为t?s,那么当t为何值时,△AMF的面积最大?最大面积是多少?
3. 阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.若△BOC的面积为1,试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).请你回答:图2中△BCE的面积等于请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:如图3,已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID.(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);(2)若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
?
4.课题学习问题背景??甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题:如图1,E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形任务要求:(1)请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索:在正方形ABCD中,∠EAF=45°,点F为BC上一点,点E为DC上一点,∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N.连接EF甲发现:线段BF,EF,DE之间存在着关系式EF=BF+DE;乙发现:△CEF的周长是一个恒定不变的值;丙发现:线段BN,MN,DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2(2)现请也参与三位同学的研究工作中来,你认为三名同学中哪个的发现是正确的,并说明你的理由.
5. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,他们碰到这样一道题:“已知正方形ABCD,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,若EG⊥FH,则EG=FH.”为了解决这个问题,经过思考,大家给出了以下两个方案:方案一:过点A作AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;方案二:过点A作AM∥HF交BC于点M,过点A作AN∥EG交CD于点N.…(1)对小曼遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图(1)).(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”,并设AB=2,BC=3(如图(2)),是探究EG、FH之间有怎样的数量关系,并证明你的结论.(3)如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为(如图(3)),试求EG的长度.
6. 如图1,已知正方形ABCD,将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转,角的两边分别交AB边和BC边于点E和F,连接EF.求证:EF=AE+CF(1)小明是这样思考的:延长BC到G,使得CG=AE,连接DG,先证△DAE≌△DCG,再证△DEF≌△DGF,请你借助图2,按照小明的思路,写出完整的证明思路.(2)刘老师看到这条题目后,问了小明两个小问题:①如果正方形的边长和△B
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