北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总.doc

北京中考数学----二次函数综合题 24、（2007?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2 QUOTE mx+n经过P（ QUOTE ，5），A（0，2）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标． 考点：二次函数综合题。 专题：代数综合题。 分析：（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可． （2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式． （3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标． 解答：解：（1）根据题意得 QUOTE ， 解得 QUOTE ， 所以抛物线的解析式为： QUOTE ． （2）由 QUOTE 得抛物线的顶点坐标为B（ QUOTE ，1）， 依题意，可得C（ QUOTE ，﹣1），且直线过原点， 设直线的解析式为y=kx，则 QUOTE ， 解得 QUOTE ， 所以直线l的解析式为 QUOTE ． （3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图， 由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形． 易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线， 作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点， 作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点， 反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点． 可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得： ①OM1= QUOTE = QUOTE ×2= QUOTE ，所以点M1的坐标为（ QUOTE ，0）． ②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2）， ③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，﹣2）， ④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N， M4N= QUOTE ，且ON=M4N， 所以点M4的坐标为（ QUOTE ，0） 综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为： M1（ QUOTE ，0）、M2（0，2）、M3（0，﹣2）、M4（ QUOTE ，0）． 点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法 24、（2008?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点． （1）求直线BC及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标； （3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数． 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y=x2+bx+c过点B，C，代入求出解析式． （2）由y=x2﹣4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标． （3）本题要靠辅助线的帮助．作点A（1，0）关于y轴的对称点A，则A（﹣1，0），求出AC=AC，由勾股定理可得CD，AD的值．得出△ADC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度． 解答：解：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C， ∴C（0，3）． 设直线BC的解析式为y=kx+3． ∵B（3，0）在直线BC上， ∴3k+3=0． 解得k=﹣1． ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．（1分） ∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C， ∴ QUOTE 解得 QUOTE ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2分） （2）由y=x2﹣4x+3． 可得D（2，﹣1），A（1，0）． ∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2． 可得△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°，CB=3 QUOTE ． 如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F， ∴AF= QUOTE AB=1． 过点A作AE⊥BC于点E． ∴∠AEB=90度． 可得B