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第八章：自旋
P399 2——6.19 3——6.19
4——6.20，6.21
5——6.25
6——6.22
P402 9——6.20，6.30
11——6.14
12——6.15
13——6.16
P402证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。
（证明）根据角动量定义：
又根据第八章问题（1）的结论
不论采取任何表象上述两组式子满足，从（1）看出若有两个算符在角动量表象中纯虚数（每一元素为虚）如而为实矩阵，则可设
，a,b…… 都是实数。
代入（1）得
这要求是纯虚矩阵，与假设违背，又从（4）看出，如果全部是实数矩阵，则这一条法则也违背，故是不可能的。
P425 1——6.39
2——6.39
3——6.40
5——6.42，6.43
8.1在表象中，求的本征态。
解：在表象中，的矩阵表示为：
设的本征矢（在表象中）为，则有
可得及 。
则 则
利用归一化条件，可求出的两个本征态为
。
8.1在表象中，求的本征态
（解） 设泡利算符，，的共同本征函数组是：
和 （1）
或者简单地记作和，因为这两个波函数并不是的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），的本征函数可表示：
(2)
待定常数，又设的本征值，则的本征方程式是：
(3)
将（2）代入（3）：
(4)
根据本章问题6（P．264），对表象基矢的运算法则是：
此外又假设的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：
比较的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：
前二式得，即，或
当时，代入（6a）得,再代入(6c)，得：
是任意的相位因子。
当时，代入（6a）得
代入(6c)，得：
最后得的本征函数：
对应本征值1
对应本征值-1
以上是利用寻常的波函数表示法，但在共同表象中，采用作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。
（7）
的矩阵已证明是
因此的矩阵式本征方程式是：
（8）
其余步骤与坐标表象的方法相同，本征矢的矩阵形式是：
8.2——6.12
8.2在表象中，求的本征态， 是方向的单位矢量.
解：在表象中，的矩阵表示为
， ， （1）
因此，
（2）
设的本征函数表示为，本征值为，则本征方程为
，即 （3）
由（3）式的系数行列式，可解得。
对于，代回（3）式，可得
归一化本征函数用表示，通常取为
或 （4）
后者形式上更加对称，它和前者相差因子，并无实质差别。若用的直角坐标分量来表示，可以取为
或 （4’）
如，二者等价（仅有相因子的差别）。若，应取前者；若，应取后者。
对于类似地可以求得
或 （5）
或 或 （5’）
若，取; 若，取。
[2]在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。
（解） 方法类似前题，设算符的本征矢是：
(1)
它的本征值是。又将题给的算符展开：
(2)
写出本征方程式：
(3)
根据问题（6）的结论，,对的共同本征矢，，运算法则是
， ， ，
， ， （4）
将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数：
（5）
或 （6）
（6）具有非平凡解（平凡解 ，）条件是久期方程式为零，即
它的解 （7）
时，代入（6）得：
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